Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61973 / 74487
↖ ↑ ↗
← S 23.863234°
W  9.786072°		 ← 279.26 m → S 23.863234°
W  9.783325°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
S 23.865745°
W  9.786072°		 ← 279.25 m →
77 979 m²		 S 23.865745°
W  9.783325°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472820281982422 y=0.568294525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472820281982422 × 217)
    floor (0.472820281982422 × 131072)
    floor (61973.5)     		tx = 61973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568294525146484 × 217)
    floor (0.568294525146484 × 131072)
    floor (74487.5)     		ty = 74487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61973 / 74487 ti = "17/61973/74487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61973/74487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61973 ÷ 217
    61973 ÷ 131072     		x = 0.472816467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74487 ÷ 217
    74487 ÷ 131072     		y = 0.568290710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472816467285156 × 2 - 1) × π
    -0.0543670654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17079917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568290710449219 × 2 - 1) × π
    -0.136581420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.429083188499123
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17079917} λ = -0.17079917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.429083188499123))-π/2
    2×atan(0.651105762416892)-π/2
    2×0.577152165244167-π/2
    1.15430433048833-1.57079632675     		φ = -0.41649200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17079917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.786072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41649200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.863234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61973 KachelY 74487 -0.17079917 -0.41649200 -9.786072 -23.863234
    Oben rechts KachelX + 1 61974 KachelY 74487 -0.17075124 -0.41649200 -9.783325 -23.863234
    Unten links KachelX 61973 KachelY + 1 74488 -0.17079917 -0.41653583 -9.786072 -23.865745
    Unten rechts KachelX + 1 61974 KachelY + 1 74488 -0.17075124 -0.41653583 -9.783325 -23.865745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41649200--0.41653583) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dl = 279.240930000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41649200--0.41653583) × R
    4.38300000000225e-05 × 6371000     		dr = 279.240930000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17079917--0.17075124) × cos(-0.41649200) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.914513742788122 × 6371000     		do = 279.257772960688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17079917--0.17075124) × cos(-0.41653583) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.914496010271302 × 6371000     		du = 279.252358123355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41649200)-sin(-0.41653583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914513742788122-0.914496010271302)×R²
    abs(-0.17075124--0.17079917)×1.77325168196907e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.77325168196907e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.77325168196907e-05×40589641000000     		ar = 77979.4442216791m²