Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61972 / 74483
↖ ↑ ↗
← S 23.853186°
W  9.788818°		 ← 279.34 m → S 23.853186°
W  9.786072°		 →
↑
279.37 m
↓
↑
279.37 m
↓
S 23.855698°
W  9.788818°		 ← 279.33 m →
78 037 m²		 S 23.855698°
W  9.786072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472812652587891 y=0.568264007568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472812652587891 × 217)
    floor (0.472812652587891 × 131072)
    floor (61972.5)     		tx = 61972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568264007568359 × 217)
    floor (0.568264007568359 × 131072)
    floor (74483.5)     		ty = 74483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61972 / 74483 ti = "17/61972/74483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61972/74483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61972 ÷ 217
    61972 ÷ 131072     		x = 0.472808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74483 ÷ 217
    74483 ÷ 131072     		y = 0.568260192871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.05438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17084711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568260192871094 × 2 - 1) × π
    -0.136520385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.428891440900642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17084711} λ = -0.17084711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.428891440900642))-π/2
    2×atan(0.651230622353606)-π/2
    2×0.577239846551621-π/2
    1.15447969310324-1.57079632675     		φ = -0.41631663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17084711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.788818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41631663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.853186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61972 KachelY 74483 -0.17084711 -0.41631663 -9.788818 -23.853186
    Oben rechts KachelX + 1 61973 KachelY 74483 -0.17079917 -0.41631663 -9.786072 -23.853186
    Unten links KachelX 61972 KachelY + 1 74484 -0.17084711 -0.41636048 -9.788818 -23.855698
    Unten rechts KachelX + 1 61973 KachelY + 1 74484 -0.17079917 -0.41636048 -9.786072 -23.855698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41631663--0.41636048) × R
    4.38499999999564e-05 × 6371000     		dl = 279.368349999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41631663--0.41636048) × R
    4.38499999999564e-05 × 6371000     		dr = 279.368349999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17084711--0.17079917) × cos(-0.41631663) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914584675506344 × 6371000     		do = 279.337701309164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17084711--0.17079917) × cos(-0.41636048) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914566941930418 × 6371000     		du = 279.332285018614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41631663)-sin(-0.41636048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914584675506344-0.914566941930418)×R²
    abs(-0.17079917--0.17084711)×1.77335759262709e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.77335759262709e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.77335759262709e-05×40589641000000     		ar = 78037.356149866m²