Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61971 / 76169
↖ ↑ ↗
← S 28.016226°
W  9.791565°		 ← 269.63 m → S 28.016226°
W  9.788818°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
S 28.018651°
W  9.791565°		 ← 269.63 m →
72 698 m²		 S 28.018651°
W  9.788818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472805023193359 y=0.581127166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472805023193359 × 217)
    floor (0.472805023193359 × 131072)
    floor (61971.5)     		tx = 61971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581127166748047 × 217)
    floor (0.581127166748047 × 131072)
    floor (76169.5)     		ty = 76169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61971 / 76169 ti = "17/61971/76169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61971/76169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61971 ÷ 217
    61971 ÷ 131072     		x = 0.472801208496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76169 ÷ 217
    76169 ÷ 131072     		y = 0.581123352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472801208496094 × 2 - 1) × π
    -0.0543975830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17089505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581123352050781 × 2 - 1) × π
    -0.162246704101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.509713053660057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17089505} λ = -0.17089505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509713053660057))-π/2
    2×atan(0.600667913544986)-π/2
    2×0.540910468459361-π/2
    1.08182093691872-1.57079632675     		φ = -0.48897539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17089505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.791565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48897539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.016226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61971 KachelY 76169 -0.17089505 -0.48897539 -9.791565 -28.016226
    Oben rechts KachelX + 1 61972 KachelY 76169 -0.17084711 -0.48897539 -9.788818 -28.016226
    Unten links KachelX 61971 KachelY + 1 76170 -0.17089505 -0.48901771 -9.791565 -28.018651
    Unten rechts KachelX + 1 61972 KachelY + 1 76170 -0.17084711 -0.48901771 -9.788818 -28.018651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48897539--0.48901771) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48897539--0.48901771) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17089505--0.17084711) × cos(-0.48897539) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.882814603369234 × 6371000     		do = 269.634303516834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17089505--0.17084711) × cos(-0.48901771) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.88279472396082 × 6371000     		du = 269.628231833809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48897539)-sin(-0.48901771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882814603369234-0.88279472396082)×R²
    abs(-0.17084711--0.17089505)×1.98794084141918e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98794084141918e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98794084141918e-05×40589641000000     		ar = 72698.176535961m²