Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6197 / 10343
↖ ↑ ↗
← S 42.666281°
W 43.835449°		 ← 1 796.58 m → S 42.666281°
W 43.813476°		 →
↑
1 796.30 m
↓
↑
1 796.30 m
↓
S 42.682435°
W 43.835449°		 ← 1 796.11 m →
3 226 776 m²		 S 42.682435°
W 43.813476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378265380859375 y=0.631317138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378265380859375 × 214)
    floor (0.378265380859375 × 16384)
    floor (6197.5)     		tx = 6197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631317138671875 × 214)
    floor (0.631317138671875 × 16384)
    floor (10343.5)     		ty = 10343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6197 / 10343 ti = "14/6197/10343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6197/10343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6197 ÷ 214
    6197 ÷ 16384     		x = 0.37823486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10343 ÷ 214
    10343 ÷ 16384     		y = 0.63128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.2435302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.76507292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.2625732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.824898168661926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76507292} λ = -0.76507292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.824898168661926))-π/2
    2×atan(0.438279620792865)-π/2
    2×0.413064624459262-π/2
    0.826129248918524-1.57079632675     		φ = -0.74466708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76507292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.835449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74466708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.666281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6197 KachelY 10343 -0.76507292 -0.74466708 -43.835449 -42.666281
    Oben rechts KachelX + 1 6198 KachelY 10343 -0.76468942 -0.74466708 -43.813476 -42.666281
    Unten links KachelX 6197 KachelY + 1 10344 -0.76507292 -0.74494903 -43.835449 -42.682435
    Unten rechts KachelX + 1 6198 KachelY + 1 10344 -0.76468942 -0.74494903 -43.813476 -42.682435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74466708--0.74494903) × R
    0.000281949999999975 × 6371000     		dl = 1796.30344999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74466708--0.74494903) × R
    0.000281949999999975 × 6371000     		dr = 1796.30344999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76507292--0.76468942) × cos(-0.74466708) × R
    0.000383500000000092 × 0.735313572015308 × 6371000     		do = 1796.57584126364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76507292--0.76468942) × cos(-0.74494903) × R
    0.000383500000000092 × 0.735122457649648 × 6371000     		du = 1796.10889564298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74466708)-sin(-0.74494903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.735313572015308-0.735122457649648)×R²
    abs(-0.76468942--0.76507292)×0.000191114365660439×R²
    0.000383500000000092×0.000191114365660439×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191114365660439×40589641000000     		ar = 3226776.01520853m²