Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61968 / 74512
↖ ↑ ↗
← S 23.926013°
W  9.799805°		 ← 279.18 m → S 23.926013°
W  9.797058°		 →
↑
279.18 m
↓
↑
279.18 m
↓
S 23.928523°
W  9.799805°		 ← 279.18 m →
77 940 m²		 S 23.928523°
W  9.797058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472782135009766 y=0.568485260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472782135009766 × 217)
    floor (0.472782135009766 × 131072)
    floor (61968.5)     		tx = 61968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568485260009766 × 217)
    floor (0.568485260009766 × 131072)
    floor (74512.5)     		ty = 74512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61968 / 74512 ti = "17/61968/74512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61968/74512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61968 ÷ 217
    61968 ÷ 131072     		x = 0.4727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74512 ÷ 217
    74512 ÷ 131072     		y = 0.5684814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17103886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5684814453125 × 2 - 1) × π
    -0.136962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.430281610989624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17103886} λ = -0.17103886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.430281610989624))-π/2
    2×atan(0.650325930005201)-π/2
    2×0.576604311252422-π/2
    1.15320862250484-1.57079632675     		φ = -0.41758770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17103886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41758770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.926013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61968 KachelY 74512 -0.17103886 -0.41758770 -9.799805 -23.926013
    Oben rechts KachelX + 1 61969 KachelY 74512 -0.17099092 -0.41758770 -9.797058 -23.926013
    Unten links KachelX 61968 KachelY + 1 74513 -0.17103886 -0.41763152 -9.799805 -23.928523
    Unten rechts KachelX + 1 61969 KachelY + 1 74513 -0.17099092 -0.41763152 -9.797058 -23.928523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41758770--0.41763152) × R
    4.38199999999722e-05 × 6371000     		dl = 279.177219999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41758770--0.41763152) × R
    4.38199999999722e-05 × 6371000     		dr = 279.177219999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17103886--0.17099092) × cos(-0.41758770) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.91406992318091 × 6371000     		do = 279.180482699251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17103886--0.17099092) × cos(-0.41763152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914052150812042 × 6371000     		du = 279.175054560338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41758770)-sin(-0.41763152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91406992318091-0.914052150812042)×R²
    abs(-0.17099092--0.17103886)×1.77723688674636e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.77723688674636e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.77723688674636e-05×40589641000000     		ar = 77940.07334432m²