Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61967 / 76155
↖ ↑ ↗
← S 27.982274°
W  9.802551°		 ← 269.66 m → S 27.982274°
W  9.799805°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
S 27.984700°
W  9.802551°		 ← 269.66 m →
72 740 m²		 S 27.984700°
W  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472774505615234 y=0.581020355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472774505615234 × 217)
    floor (0.472774505615234 × 131072)
    floor (61967.5)     		tx = 61967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581020355224609 × 217)
    floor (0.581020355224609 × 131072)
    floor (76155.5)     		ty = 76155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61967 / 76155 ti = "17/61967/76155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61967/76155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61967 ÷ 217
    61967 ÷ 131072     		x = 0.472770690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76155 ÷ 217
    76155 ÷ 131072     		y = 0.581016540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472770690917969 × 2 - 1) × π
    -0.0544586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17108679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581016540527344 × 2 - 1) × π
    -0.162033081054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.509041937065376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17108679} λ = -0.17108679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509041937065376))-π/2
    2×atan(0.601071167049582)-π/2
    2×0.541206750904502-π/2
    1.082413501809-1.57079632675     		φ = -0.48838282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17108679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.802551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48838282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.982274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61967 KachelY 76155 -0.17108679 -0.48838282 -9.802551 -27.982274
    Oben rechts KachelX + 1 61968 KachelY 76155 -0.17103886 -0.48838282 -9.799805 -27.982274
    Unten links KachelX 61967 KachelY + 1 76156 -0.17108679 -0.48842516 -9.802551 -27.984700
    Unten rechts KachelX + 1 61968 KachelY + 1 76156 -0.17103886 -0.48842516 -9.799805 -27.984700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48838282--0.48842516) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dl = 269.748140000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48838282--0.48842516) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dr = 269.748140000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17108679--0.17103886) × cos(-0.48838282) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.883092791282628 × 6371000     		do = 269.663007424439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17108679--0.17103886) × cos(-0.48842516) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.883072924631577 × 6371000     		du = 269.656940903544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48838282)-sin(-0.48842516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883092791282628-0.883072924631577)×R²
    abs(-0.17103886--0.17108679)×1.9866651051581e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.9866651051581e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.9866651051581e-05×40589641000000     		ar = 72740.2764740524m²