Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61967 / 39601
↖ ↑ ↗
← N 57.819892°
W  9.802551°		 ← 162.63 m → N 57.819892°
W  9.799805°		 →
↑
162.65 m
↓
↑
162.65 m
↓
N 57.818429°
W  9.802551°		 ← 162.64 m →
26 453 m²		 N 57.818429°
W  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472774505615234 y=0.302135467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472774505615234 × 217)
    floor (0.472774505615234 × 131072)
    floor (61967.5)     		tx = 61967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302135467529297 × 217)
    floor (0.302135467529297 × 131072)
    floor (39601.5)     		ty = 39601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61967 / 39601 ti = "17/61967/39601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61967/39601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61967 ÷ 217
    61967 ÷ 131072     		x = 0.472770690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39601 ÷ 217
    39601 ÷ 131072     		y = 0.302131652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472770690917969 × 2 - 1) × π
    -0.0544586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17108679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302131652832031 × 2 - 1) × π
    0.395736694335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.24324349164616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17108679} λ = -0.17108679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24324349164616))-π/2
    2×atan(3.46683991477432)-π/2
    2×1.28997191013746-π/2
    2.57994382027492-1.57079632675     		φ = 1.00914749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17108679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.802551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00914749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.819892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61967 KachelY 39601 -0.17108679 1.00914749 -9.802551 57.819892
    Oben rechts KachelX + 1 61968 KachelY 39601 -0.17103886 1.00914749 -9.799805 57.819892
    Unten links KachelX 61967 KachelY + 1 39602 -0.17108679 1.00912196 -9.802551 57.818429
    Unten rechts KachelX + 1 61968 KachelY + 1 39602 -0.17103886 1.00912196 -9.799805 57.818429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00914749-1.00912196) × R
    2.55299999998293e-05 × 6371000     		dl = 162.651629998912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00914749-1.00912196) × R
    2.55299999998293e-05 × 6371000     		dr = 162.651629998912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17108679--0.17103886) × cos(1.00914749) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.53258246063169 × 6371000     		do = 162.630461320893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17108679--0.17103886) × cos(1.00912196) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.532604068491537 × 6371000     		du = 162.63705954084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00914749)-sin(1.00912196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53258246063169-0.532604068491537)×R²
    abs(-0.17103886--0.17108679)×2.16078598468394e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16078598468394e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16078598468394e-05×40589641000000     		ar = 26452.6462283034m²