Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61967 / 12847
↖ ↑ ↗
← N 73.152032°
E160.394897°		 ← 177.05 m → N 73.152032°
E160.400391°		 →
↑
176.99 m
↓
↑
176.99 m
↓
N 73.150440°
E160.394897°		 ← 177.06 m →
31 336 m²		 N 73.150440°
E160.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945549011230469 y=0.196037292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945549011230469 × 216)
    floor (0.945549011230469 × 65536)
    floor (61967.5)     		tx = 61967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196037292480469 × 216)
    floor (0.196037292480469 × 65536)
    floor (12847.5)     		ty = 12847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61967 / 12847 ti = "16/61967/12847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61967/12847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61967 ÷ 216
    61967 ÷ 65536     		x = 0.945541381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12847 ÷ 216
    12847 ÷ 65536     		y = 0.196029663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945541381835938 × 2 - 1) × π
    0.891082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79941906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196029663085938 × 2 - 1) × π
    0.607940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90990195466228
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79941906} λ = 2.79941906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90990195466228))-π/2
    2×atan(6.75242672211665)-π/2
    2×1.42377007060027-π/2
    2.84754014120054-1.57079632675     		φ = 1.27674381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79941906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.394897°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27674381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.152032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61967 KachelY 12847 2.79941906 1.27674381 160.394897 73.152032
    Oben rechts KachelX + 1 61968 KachelY 12847 2.79951494 1.27674381 160.400391 73.152032
    Unten links KachelX 61967 KachelY + 1 12848 2.79941906 1.27671603 160.394897 73.150440
    Unten rechts KachelX + 1 61968 KachelY + 1 12848 2.79951494 1.27671603 160.400391 73.150440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27674381-1.27671603) × R
    2.77799999999218e-05 × 6371000     		dl = 176.986379999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27674381-1.27671603) × R
    2.77799999999218e-05 × 6371000     		dr = 176.986379999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79941906-2.79951494) × cos(1.27674381) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.289833165796704 × 6371000     		do = 177.045018279886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79941906-2.79951494) × cos(1.27671603) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.289859753289033 × 6371000     		du = 177.061259288925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27674381)-sin(1.27671603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289833165796704-0.289859753289033)×R²
    abs(2.79951494-2.79941906)×2.65874923299214e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.65874923299214e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.65874923299214e-05×40589641000000     		ar = 31335.9941029979m²