Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61966 / 34383
↖ ↑ ↗
← N 64.681493°
W  9.805298°		 ← 130.62 m → N 64.681493°
W  9.802551°		 →
↑
130.61 m
↓
↑
130.61 m
↓
N 64.680318°
W  9.805298°		 ← 130.62 m →
17 059 m²		 N 64.680318°
W  9.802551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472766876220703 y=0.262325286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472766876220703 × 217)
    floor (0.472766876220703 × 131072)
    floor (61966.5)     		tx = 61966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262325286865234 × 217)
    floor (0.262325286865234 × 131072)
    floor (34383.5)     		ty = 34383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61966 / 34383 ti = "17/61966/34383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61966/34383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61966 ÷ 217
    61966 ÷ 131072     		x = 0.472763061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34383 ÷ 217
    34383 ÷ 131072     		y = 0.262321472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472763061523438 × 2 - 1) × π
    -0.054473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17113473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262321472167969 × 2 - 1) × π
    0.475357055664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.49337823386361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17113473} λ = -0.17113473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49337823386361))-π/2
    2×atan(4.45211041297392)-π/2
    2×1.34985066830907-π/2
    2.69970133661814-1.57079632675     		φ = 1.12890501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17113473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.805298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12890501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.681493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61966 KachelY 34383 -0.17113473 1.12890501 -9.805298 64.681493
    Oben rechts KachelX + 1 61967 KachelY 34383 -0.17108679 1.12890501 -9.802551 64.681493
    Unten links KachelX 61966 KachelY + 1 34384 -0.17113473 1.12888451 -9.805298 64.680318
    Unten rechts KachelX + 1 61967 KachelY + 1 34384 -0.17108679 1.12888451 -9.802551 64.680318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12890501-1.12888451) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dl = 130.605499999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12890501-1.12888451) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dr = 130.605499999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17113473--0.17108679) × cos(1.12890501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.427649874252315 × 6371000     		do = 130.615279304486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17113473--0.17108679) × cos(1.12888451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.427668405023864 × 6371000     		du = 130.620939079099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12890501)-sin(1.12888451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427649874252315-0.427668405023864)×R²
    abs(-0.17108679--0.17113473)×1.8530771549341e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8530771549341e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8530771549341e-05×40589641000000     		ar = 17059.4434605794m²