Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61966 / 34298
↖ ↑ ↗
← N 64.781148°
W  9.805298°		 ← 130.13 m → N 64.781148°
W  9.802551°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
N 64.779978°
W  9.805298°		 ← 130.14 m →
16 930 m²		 N 64.779978°
W  9.802551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472766876220703 y=0.261676788330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472766876220703 × 217)
    floor (0.472766876220703 × 131072)
    floor (61966.5)     		tx = 61966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261676788330078 × 217)
    floor (0.261676788330078 × 131072)
    floor (34298.5)     		ty = 34298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61966 / 34298 ti = "17/61966/34298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61966/34298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61966 ÷ 217
    61966 ÷ 131072     		x = 0.472763061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34298 ÷ 217
    34298 ÷ 131072     		y = 0.261672973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472763061523438 × 2 - 1) × π
    -0.054473876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17113473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261672973632812 × 2 - 1) × π
    0.476654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49745287033131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17113473} λ = -0.17113473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49745287033131))-π/2
    2×atan(4.47028815311241)-π/2
    2×1.35072032419518-π/2
    2.70144064839037-1.57079632675     		φ = 1.13064432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17113473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.805298°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13064432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.781148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61966 KachelY 34298 -0.17113473 1.13064432 -9.805298 64.781148
    Oben rechts KachelX + 1 61967 KachelY 34298 -0.17108679 1.13064432 -9.802551 64.781148
    Unten links KachelX 61966 KachelY + 1 34299 -0.17113473 1.13062390 -9.805298 64.779978
    Unten rechts KachelX + 1 61967 KachelY + 1 34299 -0.17108679 1.13062390 -9.802551 64.779978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13064432-1.13062390) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13064432-1.13062390) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17113473--0.17108679) × cos(1.13064432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.426076988545081 × 6371000     		do = 130.134879523418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17113473--0.17108679) × cos(1.13062390) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.42609546216289 × 6371000     		du = 130.140521841808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13064432)-sin(1.13062390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426076988545081-0.42609546216289)×R²
    abs(-0.17108679--0.17113473)×1.8473617809156e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8473617809156e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8473617809156e-05×40589641000000     		ar = 16930.3708839771m²