Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61965 / 39748
↖ ↑ ↗
← N 57.604222°
W  9.808045°		 ← 163.64 m → N 57.604222°
W  9.805298°		 →
↑
163.67 m
↓
↑
163.67 m
↓
N 57.602750°
W  9.808045°		 ← 163.64 m →
26 783 m²		 N 57.602750°
W  9.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472759246826172 y=0.303256988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472759246826172 × 217)
    floor (0.472759246826172 × 131072)
    floor (61965.5)     		tx = 61965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303256988525391 × 217)
    floor (0.303256988525391 × 131072)
    floor (39748.5)     		ty = 39748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61965 / 39748 ti = "17/61965/39748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61965/39748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61965 ÷ 217
    61965 ÷ 131072     		x = 0.472755432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39748 ÷ 217
    39748 ÷ 131072     		y = 0.303253173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472755432128906 × 2 - 1) × π
    -0.0544891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17118267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303253173828125 × 2 - 1) × π
    0.39349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23619676740201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17118267} λ = -0.17118267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23619676740201))-π/2
    2×atan(3.44249592332966)-π/2
    2×1.28808982672835-π/2
    2.5761796534567-1.57079632675     		φ = 1.00538333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17118267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.808045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00538333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.604222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61965 KachelY 39748 -0.17118267 1.00538333 -9.808045 57.604222
    Oben rechts KachelX + 1 61966 KachelY 39748 -0.17113473 1.00538333 -9.805298 57.604222
    Unten links KachelX 61965 KachelY + 1 39749 -0.17118267 1.00535764 -9.808045 57.602750
    Unten rechts KachelX + 1 61966 KachelY + 1 39749 -0.17113473 1.00535764 -9.805298 57.602750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00538333-1.00535764) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dl = 163.670989999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00538333-1.00535764) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dr = 163.670989999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17118267--0.17113473) × cos(1.00538333) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535764582724288 × 6371000     		do = 163.636294144344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17118267--0.17113473) × cos(1.00535764) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535786274346082 × 6371000     		du = 163.642919323983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00538333)-sin(1.00535764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535764582724288-0.535786274346082)×R²
    abs(-0.17113473--0.17118267)×2.16916217946617e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16916217946617e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16916217946617e-05×40589641000000     		ar = 26783.0564388413m²