Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61965 / 34324
↖ ↑ ↗
← N 64.750704°
W  9.808045°		 ← 130.28 m → N 64.750704°
W  9.805298°		 →
↑
130.29 m
↓
↑
130.29 m
↓
N 64.749532°
W  9.808045°		 ← 130.29 m →
16 974 m²		 N 64.749532°
W  9.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472759246826172 y=0.261875152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472759246826172 × 217)
    floor (0.472759246826172 × 131072)
    floor (61965.5)     		tx = 61965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261875152587891 × 217)
    floor (0.261875152587891 × 131072)
    floor (34324.5)     		ty = 34324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61965 / 34324 ti = "17/61965/34324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61965/34324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61965 ÷ 217
    61965 ÷ 131072     		x = 0.472755432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34324 ÷ 217
    34324 ÷ 131072     		y = 0.261871337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472755432128906 × 2 - 1) × π
    -0.0544891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17118267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261871337890625 × 2 - 1) × π
    0.47625732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49620651094119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17118267} λ = -0.17118267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49620651094119))-π/2
    2×atan(4.46472003815321)-π/2
    2×1.35045465192755-π/2
    2.7009093038551-1.57079632675     		φ = 1.13011298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17118267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.808045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13011298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.750704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61965 KachelY 34324 -0.17118267 1.13011298 -9.808045 64.750704
    Oben rechts KachelX + 1 61966 KachelY 34324 -0.17113473 1.13011298 -9.805298 64.750704
    Unten links KachelX 61965 KachelY + 1 34325 -0.17118267 1.13009253 -9.808045 64.749532
    Unten rechts KachelX + 1 61966 KachelY + 1 34325 -0.17113473 1.13009253 -9.805298 64.749532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13011298-1.13009253) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dl = 130.286950000387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13011298-1.13009253) × R
    2.04500000000607e-05 × 6371000     		dr = 130.286950000387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17118267--0.17113473) × cos(1.13011298) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426557624718173 × 6371000     		do = 130.28167818218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17118267--0.17113473) × cos(1.13009253) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426576120843905 × 6371000     		du = 130.287327375069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13011298)-sin(1.13009253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426557624718173-0.426576120843905)×R²
    abs(-0.17113473--0.17118267)×1.84961257320704e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84961257320704e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84961257320704e-05×40589641000000     		ar = 16974.370499815m²