Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61965 / 34242
↖ ↑ ↗
← N 64.846602°
W  9.808045°		 ← 129.82 m → N 64.846602°
W  9.805298°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 64.845435°
W  9.808045°		 ← 129.82 m →
16 848 m²		 N 64.845435°
W  9.805298°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472759246826172 y=0.261249542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472759246826172 × 217)
    floor (0.472759246826172 × 131072)
    floor (61965.5)     		tx = 61965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261249542236328 × 217)
    floor (0.261249542236328 × 131072)
    floor (34242.5)     		ty = 34242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61965 / 34242 ti = "17/61965/34242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61965/34242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61965 ÷ 217
    61965 ÷ 131072     		x = 0.472755432128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34242 ÷ 217
    34242 ÷ 131072     		y = 0.261245727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472755432128906 × 2 - 1) × π
    -0.0544891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17118267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261245727539062 × 2 - 1) × π
    0.477508544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50013733671004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17118267} λ = -0.17118267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50013733671004))-π/2
    2×atan(4.48230461303773)-π/2
    2×1.35129152485386-π/2
    2.70258304970772-1.57079632675     		φ = 1.13178672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17118267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.808045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13178672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.846602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61965 KachelY 34242 -0.17118267 1.13178672 -9.808045 64.846602
    Oben rechts KachelX + 1 61966 KachelY 34242 -0.17113473 1.13178672 -9.805298 64.846602
    Unten links KachelX 61965 KachelY + 1 34243 -0.17118267 1.13176635 -9.808045 64.845435
    Unten rechts KachelX + 1 61966 KachelY + 1 34243 -0.17113473 1.13176635 -9.805298 64.845435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13178672-1.13176635) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dl = 129.777270000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13178672-1.13176635) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dr = 129.777270000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17118267--0.17113473) × cos(1.13178672) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425043196415471 × 6371000     		do = 129.819132797151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17118267--0.17113473) × cos(1.13176635) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425061634702661 × 6371000     		du = 129.82476432466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13178672)-sin(1.13176635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425043196415471-0.425061634702661)×R²
    abs(-0.17113473--0.17118267)×1.8438287190059e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8438287190059e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8438287190059e-05×40589641000000     		ar = 16847.9380709132m²