Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61964 / 74495
↖ ↑ ↗
← S 23.883326°
W  9.810791°		 ← 279.27 m → S 23.883326°
W  9.808045°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
S 23.885838°
W  9.810791°		 ← 279.27 m →
77 984 m²		 S 23.885838°
W  9.808045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472751617431641 y=0.568355560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472751617431641 × 217)
    floor (0.472751617431641 × 131072)
    floor (61964.5)     		tx = 61964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568355560302734 × 217)
    floor (0.568355560302734 × 131072)
    floor (74495.5)     		ty = 74495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61964 / 74495 ti = "17/61964/74495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61964/74495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61964 ÷ 217
    61964 ÷ 131072     		x = 0.472747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74495 ÷ 217
    74495 ÷ 131072     		y = 0.568351745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17123061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568351745605469 × 2 - 1) × π
    -0.136703491210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.429466683696083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17123061} λ = -0.17123061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.429466683696083))-π/2
    2×atan(0.650856114356768)-π/2
    2×0.576976823035589-π/2
    1.15395364607118-1.57079632675     		φ = -0.41684268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17123061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41684268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.883326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61964 KachelY 74495 -0.17123061 -0.41684268 -9.810791 -23.883326
    Oben rechts KachelX + 1 61965 KachelY 74495 -0.17118267 -0.41684268 -9.808045 -23.883326
    Unten links KachelX 61964 KachelY + 1 74496 -0.17123061 -0.41688651 -9.810791 -23.885838
    Unten rechts KachelX + 1 61965 KachelY + 1 74496 -0.17118267 -0.41688651 -9.808045 -23.885838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41684268--0.41688651) × R
    4.3829999999967e-05 × 6371000     		dl = 279.240929999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41684268--0.41688651) × R
    4.3829999999967e-05 × 6371000     		dr = 279.240929999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(-0.41684268) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914371817269777 × 6371000     		do = 279.272688924745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(-0.41688651) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.91435407069783 × 6371000     		du = 279.267268664875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41684268)-sin(-0.41688651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914371817269777-0.91435407069783)×R²
    abs(-0.17118267--0.17123061)×1.7746571947419e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7746571947419e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7746571947419e-05×40589641000000     		ar = 77983.6086120985m²