Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61964 / 74492
↖ ↑ ↗
← S 23.875792°
W  9.810791°		 ← 279.29 m → S 23.875792°
W  9.808045°		 →
↑
279.24 m
↓
↑
279.24 m
↓
S 23.878303°
W  9.810791°		 ← 279.28 m →
77 988 m²		 S 23.878303°
W  9.808045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472751617431641 y=0.568332672119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472751617431641 × 217)
    floor (0.472751617431641 × 131072)
    floor (61964.5)     		tx = 61964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.568332672119141 × 217)
    floor (0.568332672119141 × 131072)
    floor (74492.5)     		ty = 74492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61964 / 74492 ti = "17/61964/74492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61964/74492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61964 ÷ 217
    61964 ÷ 131072     		x = 0.472747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74492 ÷ 217
    74492 ÷ 131072     		y = 0.568328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17123061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.568328857421875 × 2 - 1) × π
    -0.13665771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.429322872997223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17123061} λ = -0.17123061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.429322872997223))-π/2
    2×atan(0.650949721160099)-π/2
    2×0.577042573174555-π/2
    1.15408514634911-1.57079632675     		φ = -0.41671118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17123061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41671118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.875792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61964 KachelY 74492 -0.17123061 -0.41671118 -9.810791 -23.875792
    Oben rechts KachelX + 1 61965 KachelY 74492 -0.17118267 -0.41671118 -9.808045 -23.875792
    Unten links KachelX 61964 KachelY + 1 74493 -0.17123061 -0.41675501 -9.810791 -23.878303
    Unten rechts KachelX + 1 61965 KachelY + 1 74493 -0.17118267 -0.41675501 -9.808045 -23.878303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41671118--0.41675501) × R
    4.3829999999967e-05 × 6371000     		dl = 279.240929999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41671118--0.41675501) × R
    4.3829999999967e-05 × 6371000     		dr = 279.240929999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(-0.41671118) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914425050493608 × 6371000     		do = 279.288947721526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(-0.41675501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.914407309191877 × 6371000     		du = 279.283529071317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41671118)-sin(-0.41675501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914425050493608-0.914407309191877)×R²
    abs(-0.17118267--0.17123061)×1.77413017306005e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.77413017306005e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.77413017306005e-05×40589641000000     		ar = 77988.1489583746m²