Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61964 / 39752
↖ ↑ ↗
← N 57.598335°
W  9.810791°		 ← 163.66 m → N 57.598335°
W  9.808045°		 →
↑
163.67 m
↓
↑
163.67 m
↓
N 57.596863°
W  9.810791°		 ← 163.67 m →
26 787 m²		 N 57.596863°
W  9.808045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472751617431641 y=0.303287506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472751617431641 × 217)
    floor (0.472751617431641 × 131072)
    floor (61964.5)     		tx = 61964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303287506103516 × 217)
    floor (0.303287506103516 × 131072)
    floor (39752.5)     		ty = 39752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61964 / 39752 ti = "17/61964/39752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61964/39752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61964 ÷ 217
    61964 ÷ 131072     		x = 0.472747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39752 ÷ 217
    39752 ÷ 131072     		y = 0.30328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17123061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30328369140625 × 2 - 1) × π
    0.3934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23600501980353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17123061} λ = -0.17123061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23600501980353))-π/2
    2×atan(3.44183589628491)-π/2
    2×1.2880384567837-π/2
    2.57607691356741-1.57079632675     		φ = 1.00528059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17123061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00528059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.598335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61964 KachelY 39752 -0.17123061 1.00528059 -9.810791 57.598335
    Oben rechts KachelX + 1 61965 KachelY 39752 -0.17118267 1.00528059 -9.808045 57.598335
    Unten links KachelX 61964 KachelY + 1 39753 -0.17123061 1.00525490 -9.810791 57.596863
    Unten rechts KachelX + 1 61965 KachelY + 1 39753 -0.17118267 1.00525490 -9.808045 57.596863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00528059-1.00525490) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dl = 163.670989999791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00528059-1.00525490) × R
    2.56899999999671e-05 × 6371000     		dr = 163.670989999791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(1.00528059) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535851330203525 × 6371000     		do = 163.662789057383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(1.00525490) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535873020411085 × 6371000     		du = 163.669413805078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00528059)-sin(1.00525490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535851330203525-0.535873020411085)×R²
    abs(-0.17118267--0.17123061)×2.16902075595993e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16902075595993e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16902075595993e-05×40589641000000     		ar = 26787.3928521621m²