Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61964 / 39484
↖ ↑ ↗
← N 57.990632°
W  9.810791°		 ← 161.89 m → N 57.990632°
W  9.808045°		 →
↑
161.89 m
↓
↑
161.89 m
↓
N 57.989176°
W  9.810791°		 ← 161.90 m →
26 209 m²		 N 57.989176°
W  9.808045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472751617431641 y=0.301242828369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472751617431641 × 217)
    floor (0.472751617431641 × 131072)
    floor (61964.5)     		tx = 61964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301242828369141 × 217)
    floor (0.301242828369141 × 131072)
    floor (39484.5)     		ty = 39484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61964 / 39484 ti = "17/61964/39484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61964/39484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61964 ÷ 217
    61964 ÷ 131072     		x = 0.472747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39484 ÷ 217
    39484 ÷ 131072     		y = 0.301239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17123061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301239013671875 × 2 - 1) × π
    0.39752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2488521089017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17123061} λ = -0.17123061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2488521089017))-π/2
    2×atan(3.48633872250348)-π/2
    2×1.29146189422212-π/2
    2.58292378844424-1.57079632675     		φ = 1.01212746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17123061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01212746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.990632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61964 KachelY 39484 -0.17123061 1.01212746 -9.810791 57.990632
    Oben rechts KachelX + 1 61965 KachelY 39484 -0.17118267 1.01212746 -9.808045 57.990632
    Unten links KachelX 61964 KachelY + 1 39485 -0.17123061 1.01210205 -9.810791 57.989176
    Unten rechts KachelX + 1 61965 KachelY + 1 39485 -0.17118267 1.01210205 -9.808045 57.989176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01212746-1.01210205) × R
    2.54100000001145e-05 × 6371000     		dl = 161.88711000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01212746-1.01210205) × R
    2.54100000001145e-05 × 6371000     		dr = 161.88711000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(1.01212746) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530057918233995 × 6371000     		do = 161.893331919465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(1.01210205) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530079464763057 × 6371000     		du = 161.899912784048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01212746)-sin(1.01210205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530057918233995-0.530079464763057)×R²
    abs(-0.17118267--0.17123061)×2.15465290612782e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15465290612782e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15465290612782e-05×40589641000000     		ar = 26208.9763127741m²