Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61964 / 39386
↖ ↑ ↗
← N 58.133021°
W  9.810791°		 ← 161.25 m → N 58.133021°
W  9.808045°		 →
↑
161.25 m
↓
↑
161.25 m
↓
N 58.131571°
W  9.810791°		 ← 161.26 m →
26 002 m²		 N 58.131571°
W  9.808045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472751617431641 y=0.300495147705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472751617431641 × 217)
    floor (0.472751617431641 × 131072)
    floor (61964.5)     		tx = 61964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300495147705078 × 217)
    floor (0.300495147705078 × 131072)
    floor (39386.5)     		ty = 39386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61964 / 39386 ti = "17/61964/39386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61964/39386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61964 ÷ 217
    61964 ÷ 131072     		x = 0.472747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39386 ÷ 217
    39386 ÷ 131072     		y = 0.300491333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17123061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300491333007812 × 2 - 1) × π
    0.399017333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25354992506447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17123061} λ = -0.17123061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25354992506447))-π/2
    2×atan(3.50275543205233)-π/2
    2×1.29270447367131-π/2
    2.58540894734262-1.57079632675     		φ = 1.01461262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17123061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01461262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.133021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61964 KachelY 39386 -0.17123061 1.01461262 -9.810791 58.133021
    Oben rechts KachelX + 1 61965 KachelY 39386 -0.17118267 1.01461262 -9.808045 58.133021
    Unten links KachelX 61964 KachelY + 1 39387 -0.17123061 1.01458731 -9.810791 58.131571
    Unten rechts KachelX + 1 61965 KachelY + 1 39387 -0.17118267 1.01458731 -9.808045 58.131571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01461262-1.01458731) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dl = 161.250010000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01461262-1.01458731) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dr = 161.250010000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(1.01461262) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527948963728136 × 6371000     		do = 161.249202928887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17123061--0.17118267) × cos(1.01458731) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.527970458737089 × 6371000     		du = 161.255768057903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01461262)-sin(1.01458731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527948963728136-0.527970458737089)×R²
    abs(-0.17118267--0.17123061)×2.14950089529875e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14950089529875e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14950089529875e-05×40589641000000     		ar = 26001.9648998186m²