Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61963 / 76149
↖ ↑ ↗
← S 27.967721°
W  9.813537°		 ← 269.70 m → S 27.967721°
W  9.810791°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
S 27.970147°
W  9.813537°		 ← 269.69 m →
72 750 m²		 S 27.970147°
W  9.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472743988037109 y=0.580974578857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472743988037109 × 217)
    floor (0.472743988037109 × 131072)
    floor (61963.5)     		tx = 61963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580974578857422 × 217)
    floor (0.580974578857422 × 131072)
    floor (76149.5)     		ty = 76149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61963 / 76149 ti = "17/61963/76149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61963/76149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61963 ÷ 217
    61963 ÷ 131072     		x = 0.472740173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76149 ÷ 217
    76149 ÷ 131072     		y = 0.580970764160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472740173339844 × 2 - 1) × π
    -0.0545196533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17127854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580970764160156 × 2 - 1) × π
    -0.161941528320312 × 3.1415926535     		Φ = -0.508754315667656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17127854} λ = -0.17127854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508754315667656))-π/2
    2×atan(0.60124407284329)-π/2
    2×0.541333757663956-π/2
    1.08266751532791-1.57079632675     		φ = -0.48812881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17127854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.813537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48812881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.967721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61963 KachelY 76149 -0.17127854 -0.48812881 -9.813537 -27.967721
    Oben rechts KachelX + 1 61964 KachelY 76149 -0.17123061 -0.48812881 -9.810791 -27.967721
    Unten links KachelX 61963 KachelY + 1 76150 -0.17127854 -0.48817115 -9.813537 -27.970147
    Unten rechts KachelX + 1 61964 KachelY + 1 76150 -0.17123061 -0.48817115 -9.810791 -27.970147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48812881--0.48817115) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dl = 269.748139999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48812881--0.48817115) × R
    4.23399999999741e-05 × 6371000     		dr = 269.748139999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17127854--0.17123061) × cos(-0.48812881) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.883211943873393 × 6371000     		do = 269.699392101434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17127854--0.17123061) × cos(-0.48817115) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.883192086720347 × 6371000     		du = 269.69332848087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48812881)-sin(-0.48817115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883211943873393-0.883192086720347)×R²
    abs(-0.17123061--0.17127854)×1.98571530458658e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.98571530458658e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.98571530458658e-05×40589641000000     		ar = 72750.091564066m²