Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61962 / 34306
↖ ↑ ↗
← N 64.771784°
W  9.816284°		 ← 130.18 m → N 64.771784°
W  9.813537°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
N 64.770613°
W  9.816284°		 ← 130.19 m →
16 945 m²		 N 64.770613°
W  9.813537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472736358642578 y=0.261737823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472736358642578 × 217)
    floor (0.472736358642578 × 131072)
    floor (61962.5)     		tx = 61962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261737823486328 × 217)
    floor (0.261737823486328 × 131072)
    floor (34306.5)     		ty = 34306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61962 / 34306 ti = "17/61962/34306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61962/34306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61962 ÷ 217
    61962 ÷ 131072     		x = 0.472732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34306 ÷ 217
    34306 ÷ 131072     		y = 0.261734008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.054534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17132648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261734008789062 × 2 - 1) × π
    0.476531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49706937513435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17132648} λ = -0.17132648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49706937513435))-π/2
    2×atan(4.46857414775408)-π/2
    2×1.35063861078237-π/2
    2.70127722156474-1.57079632675     		φ = 1.13048089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17132648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13048089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.771784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61962 KachelY 34306 -0.17132648 1.13048089 -9.816284 64.771784
    Oben rechts KachelX + 1 61963 KachelY 34306 -0.17127854 1.13048089 -9.813537 64.771784
    Unten links KachelX 61962 KachelY + 1 34307 -0.17132648 1.13046046 -9.816284 64.770613
    Unten rechts KachelX + 1 61963 KachelY + 1 34307 -0.17127854 1.13046046 -9.813537 64.770613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13048089-1.13046046) × R
    2.04300000001822e-05 × 6371000     		dl = 130.159530001161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13048089-1.13046046) × R
    2.04300000001822e-05 × 6371000     		dr = 130.159530001161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17132648--0.17127854) × cos(1.13048089) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426224835835523 × 6371000     		do = 130.180035891433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17132648--0.17127854) × cos(1.13046046) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426243317077219 × 6371000     		du = 130.185680538354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13048089)-sin(1.13046046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426224835835523-0.426243317077219)×R²
    abs(-0.17127854--0.17132648)×1.84812416959557e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84812416959557e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84812416959557e-05×40589641000000     		ar = 16944.5396401592m²