Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61962 / 34283
↖ ↑ ↗
← N 64.798696°
W  9.816284°		 ← 130.05 m → N 64.798696°
W  9.813537°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
N 64.797526°
W  9.816284°		 ← 130.06 m →
16 911 m²		 N 64.797526°
W  9.813537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472736358642578 y=0.261562347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472736358642578 × 217)
    floor (0.472736358642578 × 131072)
    floor (61962.5)     		tx = 61962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261562347412109 × 217)
    floor (0.261562347412109 × 131072)
    floor (34283.5)     		ty = 34283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61962 / 34283 ti = "17/61962/34283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61962/34283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61962 ÷ 217
    61962 ÷ 131072     		x = 0.472732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34283 ÷ 217
    34283 ÷ 131072     		y = 0.261558532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.054534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17132648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261558532714844 × 2 - 1) × π
    0.476882934570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.49817192382562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17132648} λ = -0.17132648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49817192382562))-π/2
    2×atan(4.47350368536074)-π/2
    2×1.35087346045163-π/2
    2.70174692090326-1.57079632675     		φ = 1.13095059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17132648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13095059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.798696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61962 KachelY 34283 -0.17132648 1.13095059 -9.816284 64.798696
    Oben rechts KachelX + 1 61963 KachelY 34283 -0.17127854 1.13095059 -9.813537 64.798696
    Unten links KachelX 61962 KachelY + 1 34284 -0.17132648 1.13093018 -9.816284 64.797526
    Unten rechts KachelX + 1 61963 KachelY + 1 34284 -0.17127854 1.13093018 -9.813537 64.797526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13095059-1.13093018) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dl = 130.032110000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13095059-1.13093018) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dr = 130.032110000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17132648--0.17127854) × cos(1.13095059) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425799890107092 × 6371000     		do = 130.050246527867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17132648--0.17127854) × cos(1.13093018) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425818357340706 × 6371000     		du = 130.05588689636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13095059)-sin(1.13093018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425799890107092-0.425818357340706)×R²
    abs(-0.17127854--0.17132648)×1.84672336135394e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84672336135394e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84672336135394e-05×40589641000000     		ar = 16911.0746773414m²