Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61962 / 12890
↖ ↑ ↗
← N 73.083437°
E160.367432°		 ← 177.73 m → N 73.083437°
E160.372925°		 →
↑
177.75 m
↓
↑
177.75 m
↓
N 73.081838°
E160.367432°		 ← 177.74 m →
31 592 m²		 N 73.081838°
E160.372925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945472717285156 y=0.196693420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945472717285156 × 216)
    floor (0.945472717285156 × 65536)
    floor (61962.5)     		tx = 61962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196693420410156 × 216)
    floor (0.196693420410156 × 65536)
    floor (12890.5)     		ty = 12890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61962 / 12890 ti = "16/61962/12890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61962/12890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61962 ÷ 216
    61962 ÷ 65536     		x = 0.945465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12890 ÷ 216
    12890 ÷ 65536     		y = 0.196685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945465087890625 × 2 - 1) × π
    0.89093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79893970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196685791015625 × 2 - 1) × π
    0.60662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90577938129495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79893970} λ = 2.79893970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90577938129495))-π/2
    2×atan(6.72464664958575)-π/2
    2×1.42317146134038-π/2
    2.84634292268077-1.57079632675     		φ = 1.27554660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79893970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.367432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27554660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.083437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61962 KachelY 12890 2.79893970 1.27554660 160.367432 73.083437
    Oben rechts KachelX + 1 61963 KachelY 12890 2.79903557 1.27554660 160.372925 73.083437
    Unten links KachelX 61962 KachelY + 1 12891 2.79893970 1.27551870 160.367432 73.081838
    Unten rechts KachelX + 1 61963 KachelY + 1 12891 2.79903557 1.27551870 160.372925 73.081838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27554660-1.27551870) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dl = 177.750900000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27554660-1.27551870) × R
    2.79000000000806e-05 × 6371000     		dr = 177.750900000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79893970-2.79903557) × cos(1.27554660) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290978780187738 × 6371000     		do = 177.726280268185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79893970-2.79903557) × cos(1.27551870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291005472827728 × 6371000     		du = 177.74258380624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27554660)-sin(1.27551870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290978780187738-0.291005472827728)×R²
    abs(2.79903557-2.79893970)×2.66926399902778e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66926399902778e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66926399902778e-05×40589641000000     		ar = 31592.4552573552m²