Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61960 / 31256
↖ ↑ ↗
← N 68.114294°
W  9.821777°		 ← 113.83 m → N 68.114294°
W  9.819031°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
N 68.113270°
W  9.821777°		 ← 113.83 m →
12 959 m²		 N 68.113270°
W  9.819031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472721099853516 y=0.238468170166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472721099853516 × 217)
    floor (0.472721099853516 × 131072)
    floor (61960.5)     		tx = 61960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238468170166016 × 217)
    floor (0.238468170166016 × 131072)
    floor (31256.5)     		ty = 31256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61960 / 31256 ti = "17/61960/31256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61960/31256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61960 ÷ 217
    61960 ÷ 131072     		x = 0.47271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31256 ÷ 217
    31256 ÷ 131072     		y = 0.23846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17142235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23846435546875 × 2 - 1) × π
    0.5230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64327691897552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17142235} λ = -0.17142235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64327691897552))-π/2
    2×atan(5.17209029390508)-π/2
    2×1.37980750733566-π/2
    2.75961501467132-1.57079632675     		φ = 1.18881869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17142235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18881869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.114294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61960 KachelY 31256 -0.17142235 1.18881869 -9.821777 68.114294
    Oben rechts KachelX + 1 61961 KachelY 31256 -0.17137442 1.18881869 -9.819031 68.114294
    Unten links KachelX 61960 KachelY + 1 31257 -0.17142235 1.18880082 -9.821777 68.113270
    Unten rechts KachelX + 1 61961 KachelY + 1 31257 -0.17137442 1.18880082 -9.819031 68.113270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18881869-1.18880082) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18881869-1.18880082) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17142235--0.17137442) × cos(1.18881869) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.37275630422576 × 6371000     		do = 113.825621753679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17142235--0.17137442) × cos(1.18880082) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.372772886262369 × 6371000     		du = 113.83068527804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18881869)-sin(1.18880082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37275630422576-0.372772886262369)×R²
    abs(-0.17137442--0.17142235)×1.65820366091474e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.65820366091474e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.65820366091474e-05×40589641000000     		ar = 12959.3090976101m²