Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61960 / 12880
↖ ↑ ↗
← N 73.099413°
E160.356445°		 ← 177.56 m → N 73.099413°
E160.361938°		 →
↑
177.56 m
↓
↑
177.56 m
↓
N 73.097816°
E160.356445°		 ← 177.58 m →
31 530 m²		 N 73.097816°
E160.361938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945442199707031 y=0.196540832519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945442199707031 × 216)
    floor (0.945442199707031 × 65536)
    floor (61960.5)     		tx = 61960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196540832519531 × 216)
    floor (0.196540832519531 × 65536)
    floor (12880.5)     		ty = 12880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61960 / 12880 ti = "16/61960/12880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61960/12880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61960 ÷ 216
    61960 ÷ 65536     		x = 0.9454345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12880 ÷ 216
    12880 ÷ 65536     		y = 0.196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9454345703125 × 2 - 1) × π
    0.890869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79874795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196533203125 × 2 - 1) × π
    0.60693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90673811928735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79874795} λ = 2.79874795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90673811928735))-π/2
    2×atan(6.73109691537754)-π/2
    2×1.42331088359373-π/2
    2.84662176718745-1.57079632675     		φ = 1.27582544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79874795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27582544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.099413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61960 KachelY 12880 2.79874795 1.27582544 160.356445 73.099413
    Oben rechts KachelX + 1 61961 KachelY 12880 2.79884382 1.27582544 160.361938 73.099413
    Unten links KachelX 61960 KachelY + 1 12881 2.79874795 1.27579757 160.356445 73.097816
    Unten rechts KachelX + 1 61961 KachelY + 1 12881 2.79884382 1.27579757 160.361938 73.097816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27582544-1.27579757) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dl = 177.559770000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27582544-1.27579757) × R
    2.78700000000409e-05 × 6371000     		dr = 177.559770000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79874795-2.79884382) × cos(1.27582544) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290711994423421 × 6371000     		do = 177.56333078613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79874795-2.79884382) × cos(1.27579757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290738660622112 × 6371000     		du = 177.579618174163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27582544)-sin(1.27579757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290711994423421-0.290738660622112)×R²
    abs(2.79884382-2.79874795)×2.6666198690406e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6666198690406e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6666198690406e-05×40589641000000     		ar = 31529.5501693357m²