Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61958 / 76150
↖ ↑ ↗
← S 27.970147°
W  9.827271°		 ← 269.75 m → S 27.970147°
W  9.824524°		 →
↑
269.75 m
↓
↑
269.75 m
↓
S 27.972572°
W  9.827271°		 ← 269.74 m →
72 764 m²		 S 27.972572°
W  9.824524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472705841064453 y=0.580982208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472705841064453 × 217)
    floor (0.472705841064453 × 131072)
    floor (61958.5)     		tx = 61958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580982208251953 × 217)
    floor (0.580982208251953 × 131072)
    floor (76150.5)     		ty = 76150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61958 / 76150 ti = "17/61958/76150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61958/76150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61958 ÷ 217
    61958 ÷ 131072     		x = 0.472702026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76150 ÷ 217
    76150 ÷ 131072     		y = 0.580978393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472702026367188 × 2 - 1) × π
    -0.054595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17151823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580978393554688 × 2 - 1) × π
    -0.161956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.508802252567276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17151823} λ = -0.17151823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508802252567276))-π/2
    2×atan(0.601215251757325)-π/2
    2×0.541312588680783-π/2
    1.08262517736157-1.57079632675     		φ = -0.48817115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17151823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.827271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48817115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.970147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61958 KachelY 76150 -0.17151823 -0.48817115 -9.827271 -27.970147
    Oben rechts KachelX + 1 61959 KachelY 76150 -0.17147029 -0.48817115 -9.824524 -27.970147
    Unten links KachelX 61958 KachelY + 1 76151 -0.17151823 -0.48821349 -9.827271 -27.972572
    Unten rechts KachelX + 1 61959 KachelY + 1 76151 -0.17147029 -0.48821349 -9.824524 -27.972572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48817115--0.48821349) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dl = 269.748140000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48817115--0.48821349) × R
    4.23400000000296e-05 × 6371000     		dr = 269.748140000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17151823--0.17147029) × cos(-0.48817115) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883192086720347 × 6371000     		do = 269.749596648685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17151823--0.17147029) × cos(-0.48821349) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.883172227984024 × 6371000     		du = 269.743531279449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48817115)-sin(-0.48821349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883192086720347-0.883172227984024)×R²
    abs(-0.17147029--0.17151823)×1.98587363228198e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.98587363228198e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.98587363228198e-05×40589641000000     		ar = 72763.633911659m²