Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61958 / 39474
↖ ↑ ↗
← N 58.005187°
W  9.827271°		 ← 161.83 m → N 58.005187°
W  9.824524°		 →
↑
161.82 m
↓
↑
161.82 m
↓
N 58.003732°
W  9.827271°		 ← 161.83 m →
26 188 m²		 N 58.003732°
W  9.824524°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472705841064453 y=0.301166534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472705841064453 × 217)
    floor (0.472705841064453 × 131072)
    floor (61958.5)     		tx = 61958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301166534423828 × 217)
    floor (0.301166534423828 × 131072)
    floor (39474.5)     		ty = 39474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61958 / 39474 ti = "17/61958/39474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61958/39474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61958 ÷ 217
    61958 ÷ 131072     		x = 0.472702026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39474 ÷ 217
    39474 ÷ 131072     		y = 0.301162719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472702026367188 × 2 - 1) × π
    -0.054595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17151823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301162719726562 × 2 - 1) × π
    0.397674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2493314778979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17151823} λ = -0.17151823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2493314778979))-π/2
    2×atan(3.48801036583228)-π/2
    2×1.29158891506864-π/2
    2.58317783013728-1.57079632675     		φ = 1.01238150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17151823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.827271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01238150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.005187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61958 KachelY 39474 -0.17151823 1.01238150 -9.827271 58.005187
    Oben rechts KachelX + 1 61959 KachelY 39474 -0.17147029 1.01238150 -9.824524 58.005187
    Unten links KachelX 61958 KachelY + 1 39475 -0.17151823 1.01235610 -9.827271 58.003732
    Unten rechts KachelX + 1 61959 KachelY + 1 39475 -0.17147029 1.01235610 -9.824524 58.003732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01238150-1.01235610) × R
    2.53999999999532e-05 × 6371000     		dl = 161.823399999702m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01238150-1.01235610) × R
    2.53999999999532e-05 × 6371000     		dr = 161.823399999702m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17151823--0.17147029) × cos(1.01238150) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529842485008162 × 6371000     		do = 161.827533067044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17151823--0.17147029) × cos(1.01235610) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.529864026477378 × 6371000     		du = 161.83411238622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01238150)-sin(1.01235610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529842485008162-0.529864026477378)×R²
    abs(-0.17147029--0.17151823)×2.15414692160687e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15414692160687e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15414692160687e-05×40589641000000     		ar = 26188.0139598665m²