Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61957 / 34309
↖ ↑ ↗
← N 64.768272°
W  9.830017°		 ← 130.17 m → N 64.768272°
W  9.827271°		 →
↑
130.22 m
↓
↑
130.22 m
↓
N 64.767101°
W  9.830017°		 ← 130.18 m →
16 952 m²		 N 64.767101°
W  9.827271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472698211669922 y=0.261760711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472698211669922 × 217)
    floor (0.472698211669922 × 131072)
    floor (61957.5)     		tx = 61957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261760711669922 × 217)
    floor (0.261760711669922 × 131072)
    floor (34309.5)     		ty = 34309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61957 / 34309 ti = "17/61957/34309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61957/34309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61957 ÷ 217
    61957 ÷ 131072     		x = 0.472694396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34309 ÷ 217
    34309 ÷ 131072     		y = 0.261756896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472694396972656 × 2 - 1) × π
    -0.0546112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17156616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261756896972656 × 2 - 1) × π
    0.476486206054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.49692556443549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17156616} λ = -0.17156616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49692556443549))-π/2
    2×atan(4.46793156518921)-π/2
    2×1.35060796094331-π/2
    2.70121592188662-1.57079632675     		φ = 1.13041960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17156616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.830017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13041960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.768272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61957 KachelY 34309 -0.17156616 1.13041960 -9.830017 64.768272
    Oben rechts KachelX + 1 61958 KachelY 34309 -0.17151823 1.13041960 -9.827271 64.768272
    Unten links KachelX 61957 KachelY + 1 34310 -0.17156616 1.13039916 -9.830017 64.767101
    Unten rechts KachelX + 1 61958 KachelY + 1 34310 -0.17151823 1.13039916 -9.827271 64.767101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13041960-1.13039916) × R
    2.04399999998994e-05 × 6371000     		dl = 130.223239999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13041960-1.13039916) × R
    2.04399999998994e-05 × 6371000     		dr = 130.223239999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17156616--0.17151823) × cos(1.13041960) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.42628027902688 × 6371000     		do = 130.169811352619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17156616--0.17151823) × cos(1.13039916) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.426298768780654 × 6371000     		du = 130.175457421365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13041960)-sin(1.13039916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42628027902688-0.426298768780654)×R²
    abs(-0.17151823--0.17156616)×1.84897537742201e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84897537742201e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84897537742201e-05×40589641000000     		ar = 16951.5022095805m²