Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61957 / 12887
↖ ↑ ↗
← N 73.088231°
E160.339966°		 ← 177.68 m → N 73.088231°
E160.345459°		 →
↑
177.69 m
↓
↑
177.69 m
↓
N 73.086633°
E160.339966°		 ← 177.69 m →
31 572 m²		 N 73.086633°
E160.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945396423339844 y=0.196647644042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945396423339844 × 216)
    floor (0.945396423339844 × 65536)
    floor (61957.5)     		tx = 61957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196647644042969 × 216)
    floor (0.196647644042969 × 65536)
    floor (12887.5)     		ty = 12887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61957 / 12887 ti = "16/61957/12887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61957/12887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61957 ÷ 216
    61957 ÷ 65536     		x = 0.945388793945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12887 ÷ 216
    12887 ÷ 65536     		y = 0.196640014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945388793945312 × 2 - 1) × π
    0.890777587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79846033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196640014648438 × 2 - 1) × π
    0.606719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90606700269267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79846033} λ = 2.79846033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90606700269267))-π/2
    2×atan(6.72658108003273)-π/2
    2×1.42321330144567-π/2
    2.84642660289135-1.57079632675     		φ = 1.27563028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79846033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.339966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27563028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.088231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61957 KachelY 12887 2.79846033 1.27563028 160.339966 73.088231
    Oben rechts KachelX + 1 61958 KachelY 12887 2.79855620 1.27563028 160.345459 73.088231
    Unten links KachelX 61957 KachelY + 1 12888 2.79846033 1.27560239 160.339966 73.086633
    Unten rechts KachelX + 1 61958 KachelY + 1 12888 2.79855620 1.27560239 160.345459 73.086633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27563028-1.27560239) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dl = 177.687189999486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27563028-1.27560239) × R
    2.78899999999194e-05 × 6371000     		dr = 177.687189999486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79846033-2.79855620) × cos(1.27563028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290898720043923 × 6371000     		do = 177.677380511478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79846033-2.79855620) × cos(1.27560239) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290925403795733 × 6371000     		du = 177.693678620742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27563028)-sin(1.27560239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290898720043923-0.290925403795733)×R²
    abs(2.79855620-2.79846033)×2.66837518104746e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66837518104746e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66837518104746e-05×40589641000000     		ar = 31572.442454364m²