Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61955 / 12907
↖ ↑ ↗
← N 73.056242°
E160.328980°		 ← 178 m → N 73.056242°
E160.334473°		 →
↑
178.01 m
↓
↑
178.01 m
↓
N 73.054642°
E160.328980°		 ← 178.02 m →
31 687 m²		 N 73.054642°
E160.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945365905761719 y=0.196952819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945365905761719 × 216)
    floor (0.945365905761719 × 65536)
    floor (61955.5)     		tx = 61955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196952819824219 × 216)
    floor (0.196952819824219 × 65536)
    floor (12907.5)     		ty = 12907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61955 / 12907 ti = "16/61955/12907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61955/12907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61955 ÷ 216
    61955 ÷ 65536     		x = 0.945358276367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12907 ÷ 216
    12907 ÷ 65536     		y = 0.196945190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945358276367188 × 2 - 1) × π
    0.890716552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79826858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196945190429688 × 2 - 1) × π
    0.606109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90414952670787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79826858} λ = 2.79826858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90414952670787))-π/2
    2×atan(6.71369538030992)-π/2
    2×1.42293414982086-π/2
    2.84586829964172-1.57079632675     		φ = 1.27507197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79826858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.328980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27507197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.056242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61955 KachelY 12907 2.79826858 1.27507197 160.328980 73.056242
    Oben rechts KachelX + 1 61956 KachelY 12907 2.79836445 1.27507197 160.334473 73.056242
    Unten links KachelX 61955 KachelY + 1 12908 2.79826858 1.27504403 160.328980 73.054642
    Unten rechts KachelX + 1 61956 KachelY + 1 12908 2.79836445 1.27504403 160.334473 73.054642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27507197-1.27504403) × R
    2.79399999998375e-05 × 6371000     		dl = 178.005739998965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27507197-1.27504403) × R
    2.79399999998375e-05 × 6371000     		dr = 178.005739998965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79826858-2.79836445) × cos(1.27507197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291432839921652 × 6371000     		do = 178.003614400509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79826858-2.79836445) × cos(1.27504403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291459566968593 × 6371000     		du = 178.019938953908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27507197)-sin(1.27504403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291432839921652-0.291459566968593)×R²
    abs(2.79836445-2.79826858)×2.67270469405667e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67270469405667e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67270469405667e-05×40589641000000     		ar = 31687.1180380785m²