Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61953 / 39434
↖ ↑ ↗
← N 58.063350°
W  9.841003°		 ← 161.56 m → N 58.063350°
W  9.838257°		 →
↑
161.57 m
↓
↑
161.57 m
↓
N 58.061897°
W  9.841003°		 ← 161.57 m →
26 104 m²		 N 58.061897°
W  9.838257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472667694091797 y=0.300861358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472667694091797 × 217)
    floor (0.472667694091797 × 131072)
    floor (61953.5)     		tx = 61953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300861358642578 × 217)
    floor (0.300861358642578 × 131072)
    floor (39434.5)     		ty = 39434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61953 / 39434 ti = "17/61953/39434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61953/39434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61953 ÷ 217
    61953 ÷ 131072     		x = 0.472663879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39434 ÷ 217
    39434 ÷ 131072     		y = 0.300857543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472663879394531 × 2 - 1) × π
    -0.0546722412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17175791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300857543945312 × 2 - 1) × π
    0.398284912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25124895388271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17175791} λ = -0.17175791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25124895388271))-π/2
    2×atan(3.49470495825243)-π/2
    2×1.29209648228327-π/2
    2.58419296456655-1.57079632675     		φ = 1.01339664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17175791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.841003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01339664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.063350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61953 KachelY 39434 -0.17175791 1.01339664 -9.841003 58.063350
    Oben rechts KachelX + 1 61954 KachelY 39434 -0.17170997 1.01339664 -9.838257 58.063350
    Unten links KachelX 61953 KachelY + 1 39435 -0.17175791 1.01337128 -9.841003 58.061897
    Unten rechts KachelX + 1 61954 KachelY + 1 39435 -0.17170997 1.01337128 -9.838257 58.061897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01339664-1.01337128) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dl = 161.568559999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01339664-1.01337128) × R
    2.53599999999743e-05 × 6371000     		dr = 161.568559999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17175791--0.17170997) × cos(1.01339664) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.528981275909487 × 6371000     		do = 161.56449764088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17175791--0.17170997) × cos(1.01337128) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52900279708483 × 6371000     		du = 161.571070761785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01339664)-sin(1.01337128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528981275909487-0.52900279708483)×R²
    abs(-0.17170997--0.17175791)×2.15211753425981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15211753425981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15211753425981e-05×40589641000000     		ar = 26104.2742372664m²