Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61953 / 12865
↖ ↑ ↗
← N 73.123351°
E160.317993°		 ← 177.32 m → N 73.123351°
E160.323486°		 →
↑
177.37 m
↓
↑
177.37 m
↓
N 73.121756°
E160.317993°		 ← 177.34 m →
31 452 m²		 N 73.121756°
E160.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945335388183594 y=0.196311950683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945335388183594 × 216)
    floor (0.945335388183594 × 65536)
    floor (61953.5)     		tx = 61953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196311950683594 × 216)
    floor (0.196311950683594 × 65536)
    floor (12865.5)     		ty = 12865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61953 / 12865 ti = "16/61953/12865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61953/12865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61953 ÷ 216
    61953 ÷ 65536     		x = 0.945327758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12865 ÷ 216
    12865 ÷ 65536     		y = 0.196304321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945327758789062 × 2 - 1) × π
    0.890655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79807683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196304321289062 × 2 - 1) × π
    0.607391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90817622627596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79807683} λ = 2.79807683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90817622627596))-π/2
    2×atan(6.74078391669513)-π/2
    2×1.42351977731138-π/2
    2.84703955462275-1.57079632675     		φ = 1.27624323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79807683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.317993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27624323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.123351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61953 KachelY 12865 2.79807683 1.27624323 160.317993 73.123351
    Oben rechts KachelX + 1 61954 KachelY 12865 2.79817270 1.27624323 160.323486 73.123351
    Unten links KachelX 61953 KachelY + 1 12866 2.79807683 1.27621539 160.317993 73.121756
    Unten rechts KachelX + 1 61954 KachelY + 1 12866 2.79817270 1.27621539 160.323486 73.121756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27624323-1.27621539) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dl = 177.368640000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27624323-1.27621539) × R
    2.78400000000012e-05 × 6371000     		dr = 177.368640000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79807683-2.79817270) × cos(1.27624323) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290312223160183 × 6371000     		do = 177.319155387746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79807683-2.79817270) × cos(1.27621539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.290338864033978 × 6371000     		du = 177.335427307643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27624323)-sin(1.27621539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290312223160183-0.290338864033978)×R²
    abs(2.79817270-2.79807683)×2.66408737958357e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.66408737958357e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.66408737958357e-05×40589641000000     		ar = 31452.3005031383m²