Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61952 / 31232
↖ ↑ ↗
← N 68.138852°
W  9.843750°		 ← 113.73 m → N 68.138852°
W  9.841003°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
N 68.137829°
W  9.843750°		 ← 113.73 m →
12 934 m²		 N 68.137829°
W  9.841003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472660064697266 y=0.238285064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472660064697266 × 217)
    floor (0.472660064697266 × 131072)
    floor (61952.5)     		tx = 61952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238285064697266 × 217)
    floor (0.238285064697266 × 131072)
    floor (31232.5)     		ty = 31232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61952 / 31232 ti = "17/61952/31232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61952/31232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61952 ÷ 217
    61952 ÷ 131072     		x = 0.47265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31232 ÷ 217
    31232 ÷ 131072     		y = 0.23828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47265625 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23828125 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64442740456641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17180585} λ = -0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64442740456641))-π/2
    2×atan(5.17804413350958)-π/2
    2×1.38002181829244-π/2
    2.76004363658488-1.57079632675     		φ = 1.18924731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18924731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.138852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61952 KachelY 31232 -0.17180585 1.18924731 -9.843750 68.138852
    Oben rechts KachelX + 1 61953 KachelY 31232 -0.17175791 1.18924731 -9.841003 68.138852
    Unten links KachelX 61952 KachelY + 1 31233 -0.17180585 1.18922946 -9.843750 68.137829
    Unten rechts KachelX + 1 61953 KachelY + 1 31233 -0.17175791 1.18922946 -9.841003 68.137829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18924731-1.18922946) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dl = 113.722350000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18924731-1.18922946) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dr = 113.722350000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17180585--0.17175791) × cos(1.18924731) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372358540952008 × 6371000     		do = 113.727882915579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17180585--0.17175791) × cos(1.18922946) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372375107280616 × 6371000     		du = 113.732942698753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18924731)-sin(1.18922946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372358540952008-0.372375107280616)×R²
    abs(-0.17175791--0.17180585)×1.65663286076367e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.65663286076367e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.65663286076367e-05×40589641000000     		ar = 12933.689811123m²