Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61951 / 39427
↖ ↑ ↗
← N 58.073519°
W  9.846497°		 ← 161.52 m → N 58.073519°
W  9.843750°		 →
↑
161.50 m
↓
↑
161.50 m
↓
N 58.072067°
W  9.846497°		 ← 161.53 m →
26 087 m²		 N 58.072067°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472652435302734 y=0.300807952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472652435302734 × 217)
    floor (0.472652435302734 × 131072)
    floor (61951.5)     		tx = 61951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300807952880859 × 217)
    floor (0.300807952880859 × 131072)
    floor (39427.5)     		ty = 39427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61951 / 39427 ti = "17/61951/39427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61951/39427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61951 ÷ 217
    61951 ÷ 131072     		x = 0.472648620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39427 ÷ 217
    39427 ÷ 131072     		y = 0.300804138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472648620605469 × 2 - 1) × π
    -0.0547027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17185379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300804138183594 × 2 - 1) × π
    0.398391723632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.25158451218005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17185379} λ = -0.17185379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25158451218005))-π/2
    2×atan(3.49587783227073)-π/2
    2×1.29218522167568-π/2
    2.58437044335136-1.57079632675     		φ = 1.01357412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17185379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.846497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01357412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.073519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61951 KachelY 39427 -0.17185379 1.01357412 -9.846497 58.073519
    Oben rechts KachelX + 1 61952 KachelY 39427 -0.17180585 1.01357412 -9.843750 58.073519
    Unten links KachelX 61951 KachelY + 1 39428 -0.17185379 1.01354877 -9.846497 58.072067
    Unten rechts KachelX + 1 61952 KachelY + 1 39428 -0.17180585 1.01354877 -9.843750 58.072067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01357412-1.01354877) × R
    2.5349999999813e-05 × 6371000     		dl = 161.504849998809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01357412-1.01354877) × R
    2.5349999999813e-05 × 6371000     		dr = 161.504849998809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17185379--0.17180585) × cos(1.01357412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528830652106261 × 6371000     		do = 161.518493254225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17185379--0.17180585) × cos(1.01354877) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528852167175061 × 6371000     		du = 161.525064510034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01357412)-sin(1.01354877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528830652106261-0.528852167175061)×R²
    abs(-0.17180585--0.17185379)×2.15150688003263e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15150688003263e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15150688003263e-05×40589641000000     		ar = 26086.5506712656m²