Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61951 / 31233
↖ ↑ ↗
← N 68.137829°
W  9.846497°		 ← 113.73 m → N 68.137829°
W  9.843750°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
N 68.136806°
W  9.846497°		 ← 113.74 m →
12 934 m²		 N 68.136806°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472652435302734 y=0.238292694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472652435302734 × 217)
    floor (0.472652435302734 × 131072)
    floor (61951.5)     		tx = 61951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238292694091797 × 217)
    floor (0.238292694091797 × 131072)
    floor (31233.5)     		ty = 31233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61951 / 31233 ti = "17/61951/31233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61951/31233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61951 ÷ 217
    61951 ÷ 131072     		x = 0.472648620605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31233 ÷ 217
    31233 ÷ 131072     		y = 0.238288879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472648620605469 × 2 - 1) × π
    -0.0547027587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17185379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238288879394531 × 2 - 1) × π
    0.523422241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.64437946766679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17185379} λ = -0.17185379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64437946766679))-π/2
    2×atan(5.17779592007706)-π/2
    2×1.3800128932369-π/2
    2.7600257864738-1.57079632675     		φ = 1.18922946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17185379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.846497°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18922946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.137829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61951 KachelY 31233 -0.17185379 1.18922946 -9.846497 68.137829
    Oben rechts KachelX + 1 61952 KachelY 31233 -0.17180585 1.18922946 -9.843750 68.137829
    Unten links KachelX 61951 KachelY + 1 31234 -0.17185379 1.18921161 -9.846497 68.136806
    Unten rechts KachelX + 1 61952 KachelY + 1 31234 -0.17180585 1.18921161 -9.843750 68.136806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18922946-1.18921161) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dl = 113.722349999203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18922946-1.18921161) × R
    1.78499999998749e-05 × 6371000     		dr = 113.722349999203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17185379--0.17180585) × cos(1.18922946) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372375107280616 × 6371000     		do = 113.732942698753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17185379--0.17180585) × cos(1.18921161) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372391673490576 × 6371000     		du = 113.738002445689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18922946)-sin(1.18921161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372375107280616-0.372391673490576)×R²
    abs(-0.17180585--0.17185379)×1.65662099603225e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.65662099603225e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.65662099603225e-05×40589641000000     		ar = 12934.2652197036m²