Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61950 / 39428
↖ ↑ ↗
← N 58.072067°
W  9.849243°		 ← 161.49 m → N 58.072067°
W  9.846497°		 →
↑
161.57 m
↓
↑
161.57 m
↓
N 58.070614°
W  9.849243°		 ← 161.50 m →
26 092 m²		 N 58.070614°
W  9.846497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472644805908203 y=0.300815582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472644805908203 × 217)
    floor (0.472644805908203 × 131072)
    floor (61950.5)     		tx = 61950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300815582275391 × 217)
    floor (0.300815582275391 × 131072)
    floor (39428.5)     		ty = 39428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61950 / 39428 ti = "17/61950/39428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61950/39428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61950 ÷ 217
    61950 ÷ 131072     		x = 0.472640991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39428 ÷ 217
    39428 ÷ 131072     		y = 0.300811767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472640991210938 × 2 - 1) × π
    -0.054718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17190172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300811767578125 × 2 - 1) × π
    0.39837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25153657528043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17190172} λ = -0.17190172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25153657528043))-π/2
    2×atan(3.4957102547426)-π/2
    2×1.29217254616681-π/2
    2.58434509233363-1.57079632675     		φ = 1.01354877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17190172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01354877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.072067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61950 KachelY 39428 -0.17190172 1.01354877 -9.849243 58.072067
    Oben rechts KachelX + 1 61951 KachelY 39428 -0.17185379 1.01354877 -9.846497 58.072067
    Unten links KachelX 61950 KachelY + 1 39429 -0.17190172 1.01352341 -9.849243 58.070614
    Unten rechts KachelX + 1 61951 KachelY + 1 39429 -0.17185379 1.01352341 -9.846497 58.070614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01354877-1.01352341) × R
    2.53600000001963e-05 × 6371000     		dl = 161.568560001251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01354877-1.01352341) × R
    2.53600000001963e-05 × 6371000     		dr = 161.568560001251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17190172--0.17185379) × cos(1.01354877) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.528852167175061 × 6371000     		do = 161.491371338481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17190172--0.17185379) × cos(1.01352341) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.528873690391015 × 6371000     		du = 161.497943711397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01354877)-sin(1.01352341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528852167175061-0.528873690391015)×R²
    abs(-0.17185379--0.17190172)×2.15232159539447e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15232159539447e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15232159539447e-05×40589641000000     		ar = 26092.4592655212m²