Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61950 / 28165
↖ ↑ ↗
← N 71.069602°
W  9.849243°		 ← 99.07 m → N 71.069602°
W  9.846497°		 →
↑
99.07 m
↓
↑
99.07 m
↓
N 71.068711°
W  9.849243°		 ← 99.07 m →
9 815 m²		 N 71.068711°
W  9.846497°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472644805908203 y=0.214885711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472644805908203 × 217)
    floor (0.472644805908203 × 131072)
    floor (61950.5)     		tx = 61950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214885711669922 × 217)
    floor (0.214885711669922 × 131072)
    floor (28165.5)     		ty = 28165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61950 / 28165 ti = "17/61950/28165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61950/28165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61950 ÷ 217
    61950 ÷ 131072     		x = 0.472640991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28165 ÷ 217
    28165 ÷ 131072     		y = 0.214881896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472640991210938 × 2 - 1) × π
    -0.054718017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17190172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214881896972656 × 2 - 1) × π
    0.570236206054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.79144987570112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17190172} λ = -0.17190172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79144987570112))-π/2
    2×atan(5.99814272635317)-π/2
    2×1.40559743767252-π/2
    2.81119487534505-1.57079632675     		φ = 1.24039855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17190172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24039855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.069602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61950 KachelY 28165 -0.17190172 1.24039855 -9.849243 71.069602
    Oben rechts KachelX + 1 61951 KachelY 28165 -0.17185379 1.24039855 -9.846497 71.069602
    Unten links KachelX 61950 KachelY + 1 28166 -0.17190172 1.24038300 -9.849243 71.068711
    Unten rechts KachelX + 1 61951 KachelY + 1 28166 -0.17185379 1.24038300 -9.846497 71.068711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24039855-1.24038300) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dl = 99.06905000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24039855-1.24038300) × R
    1.55500000000863e-05 × 6371000     		dr = 99.06905000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17190172--0.17185379) × cos(1.24039855) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.324419316440113 × 6371000     		do = 99.0653410393684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17190172--0.17185379) × cos(1.24038300) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.324434025353822 × 6371000     		du = 99.0698325831179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24039855)-sin(1.24038300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324419316440113-0.324434025353822)×R²
    abs(-0.17185379--0.17190172)×1.47089137096934e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.47089137096934e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.47089137096934e-05×40589641000000     		ar = 9814.53171131291m²