Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61950 / 12894
↖ ↑ ↗
← N 73.077042°
E160.301514°		 ← 177.79 m → N 73.077042°
E160.307007°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
N 73.075443°
E160.301514°		 ← 177.81 m →
31 615 m²		 N 73.075443°
E160.307007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945289611816406 y=0.196754455566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945289611816406 × 216)
    floor (0.945289611816406 × 65536)
    floor (61950.5)     		tx = 61950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196754455566406 × 216)
    floor (0.196754455566406 × 65536)
    floor (12894.5)     		ty = 12894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61950 / 12894 ti = "16/61950/12894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61950/12894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61950 ÷ 216
    61950 ÷ 65536     		x = 0.945281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12894 ÷ 216
    12894 ÷ 65536     		y = 0.196746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945281982421875 × 2 - 1) × π
    0.89056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79778921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196746826171875 × 2 - 1) × π
    0.60650634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90539588609799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79778921} λ = 2.79778921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90539588609799))-π/2
    2×atan(6.72206827432324)-π/2
    2×1.42311565662065-π/2
    2.8462313132413-1.57079632675     		φ = 1.27543499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79778921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27543499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.077042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61950 KachelY 12894 2.79778921 1.27543499 160.301514 73.077042
    Oben rechts KachelX + 1 61951 KachelY 12894 2.79788508 1.27543499 160.307007 73.077042
    Unten links KachelX 61950 KachelY + 1 12895 2.79778921 1.27540708 160.301514 73.075443
    Unten rechts KachelX + 1 61951 KachelY + 1 12895 2.79788508 1.27540708 160.307007 73.075443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27543499-1.27540708) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27543499-1.27540708) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79778921-2.79788508) × cos(1.27543499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291085558955457 × 6371000     		do = 177.791499433603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79778921-2.79788508) × cos(1.27540708) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.291112260256044 × 6371000     		du = 177.807808261445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27543499)-sin(1.27540708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291085558955457-0.291112260256044)×R²
    abs(2.79788508-2.79778921)×2.67013005870731e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.67013005870731e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.67013005870731e-05×40589641000000     		ar = 31615.3761091744m²