Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61949 / 34297
↖ ↑ ↗
← N 64.782318°
W  9.851990°		 ← 130.13 m → N 64.782318°
W  9.849243°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
N 64.781148°
W  9.851990°		 ← 130.13 m →
16 938 m²		 N 64.781148°
W  9.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472637176513672 y=0.261669158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472637176513672 × 217)
    floor (0.472637176513672 × 131072)
    floor (61949.5)     		tx = 61949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261669158935547 × 217)
    floor (0.261669158935547 × 131072)
    floor (34297.5)     		ty = 34297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61949 / 34297 ti = "17/61949/34297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61949/34297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61949 ÷ 217
    61949 ÷ 131072     		x = 0.472633361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34297 ÷ 217
    34297 ÷ 131072     		y = 0.261665344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472633361816406 × 2 - 1) × π
    -0.0547332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17194966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261665344238281 × 2 - 1) × π
    0.476669311523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.49750080723093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17194966} λ = -0.17194966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49750080723093))-π/2
    2×atan(4.4705024500032)-π/2
    2×1.35073053637862-π/2
    2.70146107275724-1.57079632675     		φ = 1.13066475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17194966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.851990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13066475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.782318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61949 KachelY 34297 -0.17194966 1.13066475 -9.851990 64.782318
    Oben rechts KachelX + 1 61950 KachelY 34297 -0.17190172 1.13066475 -9.849243 64.782318
    Unten links KachelX 61949 KachelY + 1 34298 -0.17194966 1.13064432 -9.851990 64.781148
    Unten rechts KachelX + 1 61950 KachelY + 1 34298 -0.17190172 1.13064432 -9.849243 64.781148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13066475-1.13064432) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dl = 130.159529999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13066475-1.13064432) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dr = 130.159529999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17194966--0.17190172) × cos(1.13066475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426058505702652 × 6371000     		do = 130.129234387517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17194966--0.17190172) × cos(1.13064432) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426076988545081 × 6371000     		du = 130.134879523343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13066475)-sin(1.13064432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426058505702652-0.426076988545081)×R²
    abs(-0.17190172--0.17194966)×1.84828424292793e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84828424292793e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84828424292793e-05×40589641000000     		ar = 16937.9273717183m²