Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61949 / 31245
↖ ↑ ↗
← N 68.125553°
W  9.851990°		 ← 113.79 m → N 68.125553°
W  9.849243°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 68.124529°
W  9.851990°		 ← 113.80 m →
12 948 m²		 N 68.124529°
W  9.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472637176513672 y=0.238384246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472637176513672 × 217)
    floor (0.472637176513672 × 131072)
    floor (61949.5)     		tx = 61949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238384246826172 × 217)
    floor (0.238384246826172 × 131072)
    floor (31245.5)     		ty = 31245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61949 / 31245 ti = "17/61949/31245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61949/31245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61949 ÷ 217
    61949 ÷ 131072     		x = 0.472633361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31245 ÷ 217
    31245 ÷ 131072     		y = 0.238380432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472633361816406 × 2 - 1) × π
    -0.0547332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17194966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238380432128906 × 2 - 1) × π
    0.523239135742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.64380422487135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17194966} λ = -0.17194966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64380422487135))-π/2
    2×atan(5.17481828679093)-π/2
    2×1.37990576159402-π/2
    2.75981152318803-1.57079632675     		φ = 1.18901520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17194966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.851990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18901520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.125553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61949 KachelY 31245 -0.17194966 1.18901520 -9.851990 68.125553
    Oben rechts KachelX + 1 61950 KachelY 31245 -0.17190172 1.18901520 -9.849243 68.125553
    Unten links KachelX 61949 KachelY + 1 31246 -0.17194966 1.18899734 -9.851990 68.124529
    Unten rechts KachelX + 1 61950 KachelY + 1 31246 -0.17190172 1.18899734 -9.849243 68.124529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18901520-1.18899734) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18901520-1.18899734) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17194966--0.17190172) × cos(1.18901520) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372573949648075 × 6371000     		do = 113.793674275977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17194966--0.17190172) × cos(1.18899734) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372590523713418 × 6371000     		du = 113.79873642215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18901520)-sin(1.18899734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372573949648075-0.372590523713418)×R²
    abs(-0.17190172--0.17194966)×1.65740653432778e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.65740653432778e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.65740653432778e-05×40589641000000     		ar = 12948.421850085m²