Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61949 / 31244
↖ ↑ ↗
← N 68.126576°
W  9.851990°		 ← 113.79 m → N 68.126576°
W  9.849243°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 68.125553°
W  9.851990°		 ← 113.79 m →
12 948 m²		 N 68.125553°
W  9.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472637176513672 y=0.238376617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472637176513672 × 217)
    floor (0.472637176513672 × 131072)
    floor (61949.5)     		tx = 61949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238376617431641 × 217)
    floor (0.238376617431641 × 131072)
    floor (31244.5)     		ty = 31244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61949 / 31244 ti = "17/61949/31244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61949/31244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61949 ÷ 217
    61949 ÷ 131072     		x = 0.472633361816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31244 ÷ 217
    31244 ÷ 131072     		y = 0.238372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472633361816406 × 2 - 1) × π
    -0.0547332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17194966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238372802734375 × 2 - 1) × π
    0.52325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64385216177097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17194966} λ = -0.17194966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64385216177097))-π/2
    2×atan(5.17506635748152)-π/2
    2×1.37991469141548-π/2
    2.75982938283097-1.57079632675     		φ = 1.18903306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17194966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.851990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18903306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.126576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61949 KachelY 31244 -0.17194966 1.18903306 -9.851990 68.126576
    Oben rechts KachelX + 1 61950 KachelY 31244 -0.17190172 1.18903306 -9.849243 68.126576
    Unten links KachelX 61949 KachelY + 1 31245 -0.17194966 1.18901520 -9.851990 68.125553
    Unten rechts KachelX + 1 61950 KachelY + 1 31245 -0.17190172 1.18901520 -9.849243 68.125553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18903306-1.18901520) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18903306-1.18901520) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17194966--0.17190172) × cos(1.18903306) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372557375463888 × 6371000     		do = 113.788612093507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17194966--0.17190172) × cos(1.18901520) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372573949648075 × 6371000     		du = 113.793674275977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18903306)-sin(1.18901520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372557375463888-0.372573949648075)×R²
    abs(-0.17190172--0.17194966)×1.65741841867129e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.65741841867129e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.65741841867129e-05×40589641000000     		ar = 12947.8458461129m²