Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61947 / 28151
↖ ↑ ↗
← N 71.082072°
W  9.857483°		 ← 99 m → N 71.082072°
W  9.854737°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
N 71.081182°
W  9.857483°		 ← 99.01 m →
9 802 m²		 N 71.081182°
W  9.854737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472621917724609 y=0.214778900146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472621917724609 × 217)
    floor (0.472621917724609 × 131072)
    floor (61947.5)     		tx = 61947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214778900146484 × 217)
    floor (0.214778900146484 × 131072)
    floor (28151.5)     		ty = 28151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61947 / 28151 ti = "17/61947/28151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61947/28151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61947 ÷ 217
    61947 ÷ 131072     		x = 0.472618103027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28151 ÷ 217
    28151 ÷ 131072     		y = 0.214775085449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472618103027344 × 2 - 1) × π
    -0.0547637939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17204553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214775085449219 × 2 - 1) × π
    0.570449829101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.7921209922958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17204553} λ = -0.17204553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7921209922958))-π/2
    2×atan(6.00216953055051)-π/2
    2×1.40570626471923-π/2
    2.81141252943845-1.57079632675     		φ = 1.24061620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17204553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.857483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24061620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.082072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61947 KachelY 28151 -0.17204553 1.24061620 -9.857483 71.082072
    Oben rechts KachelX + 1 61948 KachelY 28151 -0.17199760 1.24061620 -9.854737 71.082072
    Unten links KachelX 61947 KachelY + 1 28152 -0.17204553 1.24060066 -9.857483 71.081182
    Unten rechts KachelX + 1 61948 KachelY + 1 28152 -0.17199760 1.24060066 -9.854737 71.081182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24061620-1.24060066) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dl = 99.0053400009372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24061620-1.24060066) × R
    1.55400000001471e-05 × 6371000     		dr = 99.0053400009372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17204553--0.17199760) × cos(1.24061620) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.324213430712228 × 6371000     		do = 99.0024713555535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17204553--0.17199760) × cos(1.24060066) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.324228131263808 × 6371000     		du = 99.0069603458262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24061620)-sin(1.24060066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324213430712228-0.324228131263808)×R²
    abs(-0.17199760--0.17204553)×1.47005515804266e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.47005515804266e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.47005515804266e-05×40589641000000     		ar = 9801.99555487155m²