Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61946 / 34296
↖ ↑ ↗
← N 64.783488°
W  9.860230°		 ← 130.12 m → N 64.783488°
W  9.857483°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
N 64.782318°
W  9.860230°		 ← 130.13 m →
16 929 m²		 N 64.782318°
W  9.857483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472614288330078 y=0.261661529541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472614288330078 × 217)
    floor (0.472614288330078 × 131072)
    floor (61946.5)     		tx = 61946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261661529541016 × 217)
    floor (0.261661529541016 × 131072)
    floor (34296.5)     		ty = 34296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61946 / 34296 ti = "17/61946/34296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61946/34296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61946 ÷ 217
    61946 ÷ 131072     		x = 0.472610473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34296 ÷ 217
    34296 ÷ 131072     		y = 0.26165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472610473632812 × 2 - 1) × π
    -0.054779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17209347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26165771484375 × 2 - 1) × π
    0.4766845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49754874413055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17209347} λ = -0.17209347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49754874413055))-π/2
    2×atan(4.47071675716697)-π/2
    2×1.35074074811918-π/2
    2.70148149623837-1.57079632675     		φ = 1.13068517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17209347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13068517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.783488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61946 KachelY 34296 -0.17209347 1.13068517 -9.860230 64.783488
    Oben rechts KachelX + 1 61947 KachelY 34296 -0.17204553 1.13068517 -9.857483 64.783488
    Unten links KachelX 61946 KachelY + 1 34297 -0.17209347 1.13066475 -9.860230 64.782318
    Unten rechts KachelX + 1 61947 KachelY + 1 34297 -0.17204553 1.13066475 -9.857483 64.782318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13068517-1.13066475) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13068517-1.13066475) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17209347--0.17204553) × cos(1.13068517) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426040031729435 × 6371000     		do = 130.123591960576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17209347--0.17204553) × cos(1.13066475) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426058505702652 × 6371000     		du = 130.129234387517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13068517)-sin(1.13066475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426040031729435-0.426058505702652)×R²
    abs(-0.17204553--0.17209347)×1.84739732165817e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84739732165817e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84739732165817e-05×40589641000000     		ar = 16928.9024262666m²