Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61946 / 34294
↖ ↑ ↗
← N 64.785828°
W  9.860230°		 ← 130.11 m → N 64.785828°
W  9.857483°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
N 64.784658°
W  9.860230°		 ← 130.12 m →
16 927 m²		 N 64.784658°
W  9.857483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472614288330078 y=0.261646270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472614288330078 × 217)
    floor (0.472614288330078 × 131072)
    floor (61946.5)     		tx = 61946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261646270751953 × 217)
    floor (0.261646270751953 × 131072)
    floor (34294.5)     		ty = 34294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61946 / 34294 ti = "17/61946/34294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61946/34294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61946 ÷ 217
    61946 ÷ 131072     		x = 0.472610473632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34294 ÷ 217
    34294 ÷ 131072     		y = 0.261642456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472610473632812 × 2 - 1) × π
    -0.054779052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17209347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261642456054688 × 2 - 1) × π
    0.476715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49764461792979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17209347} λ = -0.17209347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49764461792979))-π/2
    2×atan(4.4711454023154)-π/2
    2×1.35076117027174-π/2
    2.70152234054348-1.57079632675     		φ = 1.13072601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17209347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.860230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13072601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.785828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61946 KachelY 34294 -0.17209347 1.13072601 -9.860230 64.785828
    Oben rechts KachelX + 1 61947 KachelY 34294 -0.17204553 1.13072601 -9.857483 64.785828
    Unten links KachelX 61946 KachelY + 1 34295 -0.17209347 1.13070559 -9.860230 64.784658
    Unten rechts KachelX + 1 61947 KachelY + 1 34295 -0.17204553 1.13070559 -9.857483 64.784658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13072601-1.13070559) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13072601-1.13070559) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17209347--0.17204553) × cos(1.13072601) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426003083250064 × 6371000     		do = 130.112306943922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17209347--0.17204553) × cos(1.13070559) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42602155757857 × 6371000     		du = 130.117949479377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13072601)-sin(1.13070559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426003083250064-0.42602155757857)×R²
    abs(-0.17204553--0.17209347)×1.84743285061573e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84743285061573e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84743285061573e-05×40589641000000     		ar = 16927.434299747m²