Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61943 / 34374
↖ ↑ ↗
← N 64.692062°
W  9.868469°		 ← 130.56 m → N 64.692062°
W  9.865722°		 →
↑
130.61 m
↓
↑
130.61 m
↓
N 64.690887°
W  9.868469°		 ← 130.57 m →
17 053 m²		 N 64.690887°
W  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472591400146484 y=0.262256622314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472591400146484 × 217)
    floor (0.472591400146484 × 131072)
    floor (61943.5)     		tx = 61943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262256622314453 × 217)
    floor (0.262256622314453 × 131072)
    floor (34374.5)     		ty = 34374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61943 / 34374 ti = "17/61943/34374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61943/34374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61943 ÷ 217
    61943 ÷ 131072     		x = 0.472587585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34374 ÷ 217
    34374 ÷ 131072     		y = 0.262252807617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472587585449219 × 2 - 1) × π
    -0.0548248291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17223728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262252807617188 × 2 - 1) × π
    0.475494384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49380966596019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17223728} λ = -0.17223728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49380966596019))-π/2
    2×atan(4.45403161070698)-π/2
    2×1.34994290126334-π/2
    2.69988580252669-1.57079632675     		φ = 1.12908948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17223728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.868469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12908948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.692062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61943 KachelY 34374 -0.17223728 1.12908948 -9.868469 64.692062
    Oben rechts KachelX + 1 61944 KachelY 34374 -0.17218934 1.12908948 -9.865722 64.692062
    Unten links KachelX 61943 KachelY + 1 34375 -0.17223728 1.12906898 -9.868469 64.690887
    Unten rechts KachelX + 1 61944 KachelY + 1 34375 -0.17218934 1.12906898 -9.865722 64.690887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12908948-1.12906898) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dl = 130.605499999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12908948-1.12906898) × R
    2.04999999999789e-05 × 6371000     		dr = 130.605499999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17223728--0.17218934) × cos(1.12908948) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427483116342612 × 6371000     		do = 130.564347146438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17223728--0.17218934) × cos(1.12906898) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427501648731096 × 6371000     		du = 130.570007414905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12908948)-sin(1.12906898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427483116342612-0.427501648731096)×R²
    abs(-0.17218934--0.17223728)×1.85323884848154e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85323884848154e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85323884848154e-05×40589641000000     		ar = 17052.7914730729m²