Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61943 / 34372
↖ ↑ ↗
← N 64.694410°
W  9.868469°		 ← 130.55 m → N 64.694410°
W  9.865722°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
N 64.693236°
W  9.868469°		 ← 130.56 m →
17 043 m²		 N 64.693236°
W  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472591400146484 y=0.262241363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472591400146484 × 217)
    floor (0.472591400146484 × 131072)
    floor (61943.5)     		tx = 61943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262241363525391 × 217)
    floor (0.262241363525391 × 131072)
    floor (34372.5)     		ty = 34372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61943 / 34372 ti = "17/61943/34372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61943/34372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61943 ÷ 217
    61943 ÷ 131072     		x = 0.472587585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34372 ÷ 217
    34372 ÷ 131072     		y = 0.262237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472587585449219 × 2 - 1) × π
    -0.0548248291015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17223728
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262237548828125 × 2 - 1) × π
    0.47552490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49390553975943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17223728} λ = -0.17223728}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49390553975943))-π/2
    2×atan(4.45445865611034)-π/2
    2×1.34996339259073-π/2
    2.69992678518147-1.57079632675     		φ = 1.12913046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17223728} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.868469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12913046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.694410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61943 KachelY 34372 -0.17223728 1.12913046 -9.868469 64.694410
    Oben rechts KachelX + 1 61944 KachelY 34372 -0.17218934 1.12913046 -9.865722 64.694410
    Unten links KachelX 61943 KachelY + 1 34373 -0.17223728 1.12910997 -9.868469 64.693236
    Unten rechts KachelX + 1 61944 KachelY + 1 34373 -0.17218934 1.12910997 -9.865722 64.693236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12913046-1.12910997) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12913046-1.12910997) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17223728--0.17218934) × cos(1.12913046) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427446069107517 × 6371000     		do = 130.553031967245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17223728--0.17218934) × cos(1.12910997) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427464592814798 × 6371000     		du = 130.558689584248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12913046)-sin(1.12910997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427446069107517-0.427464592814798)×R²
    abs(-0.17218934--0.17223728)×1.85237072805045e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85237072805045e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85237072805045e-05×40589641000000     		ar = 17042.9957612578m²