Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61942 / 31254
↖ ↑ ↗
← N 68.116341°
W  9.871216°		 ← 113.84 m → N 68.116341°
W  9.868469°		 →
↑
113.79 m
↓
↑
113.79 m
↓
N 68.115317°
W  9.871216°		 ← 113.84 m →
12 954 m²		 N 68.115317°
W  9.868469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472583770751953 y=0.238452911376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472583770751953 × 217)
    floor (0.472583770751953 × 131072)
    floor (61942.5)     		tx = 61942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238452911376953 × 217)
    floor (0.238452911376953 × 131072)
    floor (31254.5)     		ty = 31254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61942 / 31254 ti = "17/61942/31254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61942/31254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61942 ÷ 217
    61942 ÷ 131072     		x = 0.472579956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31254 ÷ 217
    31254 ÷ 131072     		y = 0.238449096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472579956054688 × 2 - 1) × π
    -0.054840087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17228522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238449096679688 × 2 - 1) × π
    0.523101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64337279277477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17228522} λ = -0.17228522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64337279277477))-π/2
    2×atan(5.1725861856227)-π/2
    2×1.37982537532247-π/2
    2.75965075064495-1.57079632675     		φ = 1.18885442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17228522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.871216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18885442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.116341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61942 KachelY 31254 -0.17228522 1.18885442 -9.871216 68.116341
    Oben rechts KachelX + 1 61943 KachelY 31254 -0.17223728 1.18885442 -9.868469 68.116341
    Unten links KachelX 61942 KachelY + 1 31255 -0.17228522 1.18883656 -9.871216 68.115317
    Unten rechts KachelX + 1 61943 KachelY + 1 31255 -0.17223728 1.18883656 -9.868469 68.115317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18885442-1.18883656) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dl = 113.786060000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18885442-1.18883656) × R
    1.78600000000362e-05 × 6371000     		dr = 113.786060000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17228522--0.17223728) × cos(1.18885442) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372723149074868 × 6371000     		do = 113.839243621313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17228522--0.17223728) × cos(1.18883656) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.372739722070116 × 6371000     		du = 113.844305440651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18885442)-sin(1.18883656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372723149074868-0.372739722070116)×R²
    abs(-0.17223728--0.17228522)×1.65729952476545e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.65729952476545e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.65729952476545e-05×40589641000000     		ar = 12953.606987611m²