Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61942 / 28166
↖ ↑ ↗
← N 71.068711°
W  9.871216°		 ← 99.09 m → N 71.068711°
W  9.868469°		 →
↑
99.13 m
↓
↑
99.13 m
↓
N 71.067819°
W  9.871216°		 ← 99.09 m →
9 823 m²		 N 71.067819°
W  9.868469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61942 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472583770751953 y=0.214893341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472583770751953 × 217)
    floor (0.472583770751953 × 131072)
    floor (61942.5)     		tx = 61942
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214893341064453 × 217)
    floor (0.214893341064453 × 131072)
    floor (28166.5)     		ty = 28166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61942 / 28166 ti = "17/61942/28166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61942/28166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61942 ÷ 217
    61942 ÷ 131072     		x = 0.472579956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28166 ÷ 217
    28166 ÷ 131072     		y = 0.214889526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472579956054688 × 2 - 1) × π
    -0.054840087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17228522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214889526367188 × 2 - 1) × π
    0.570220947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7914019388015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17228522} λ = -0.17228522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7914019388015))-π/2
    2×atan(5.99785520087898)-π/2
    2×1.40558966166809-π/2
    2.81117932333618-1.57079632675     		φ = 1.24038300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17228522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.871216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24038300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.068711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61942 KachelY 28166 -0.17228522 1.24038300 -9.871216 71.068711
    Oben rechts KachelX + 1 61943 KachelY 28166 -0.17223728 1.24038300 -9.868469 71.068711
    Unten links KachelX 61942 KachelY + 1 28167 -0.17228522 1.24036744 -9.871216 71.067819
    Unten rechts KachelX + 1 61943 KachelY + 1 28167 -0.17223728 1.24036744 -9.868469 71.067819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24038300-1.24036744) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dl = 99.1327600001628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24038300-1.24036744) × R
    1.55600000000256e-05 × 6371000     		dr = 99.1327600001628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17228522--0.17223728) × cos(1.24038300) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.324434025353822 × 6371000     		do = 99.0905022748623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17228522--0.17223728) × cos(1.24036744) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.324448743648116 × 6371000     		du = 99.0949976207884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24038300)-sin(1.24036744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324434025353822-0.324448743648116)×R²
    abs(-0.17223728--0.17228522)×1.47182942934476e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47182942934476e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47182942934476e-05×40589641000000     		ar = 9823.3377986619m²