Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61941 / 34371
↖ ↑ ↗
← N 64.695584°
W  9.873962°		 ← 130.52 m → N 64.695584°
W  9.871216°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
N 64.694410°
W  9.873962°		 ← 130.53 m →
17 039 m²		 N 64.694410°
W  9.871216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472576141357422 y=0.262233734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472576141357422 × 217)
    floor (0.472576141357422 × 131072)
    floor (61941.5)     		tx = 61941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262233734130859 × 217)
    floor (0.262233734130859 × 131072)
    floor (34371.5)     		ty = 34371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61941 / 34371 ti = "17/61941/34371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61941/34371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61941 ÷ 217
    61941 ÷ 131072     		x = 0.472572326660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34371 ÷ 217
    34371 ÷ 131072     		y = 0.262229919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472572326660156 × 2 - 1) × π
    -0.0548553466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17233315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262229919433594 × 2 - 1) × π
    0.475540161132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.49395347665905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17233315} λ = -0.17233315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49395347665905))-π/2
    2×atan(4.45467219416594)-π/2
    2×1.34997363758843-π/2
    2.69994727517686-1.57079632675     		φ = 1.12915095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17233315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.873962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12915095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.695584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61941 KachelY 34371 -0.17233315 1.12915095 -9.873962 64.695584
    Oben rechts KachelX + 1 61942 KachelY 34371 -0.17228522 1.12915095 -9.871216 64.695584
    Unten links KachelX 61941 KachelY + 1 34372 -0.17233315 1.12913046 -9.873962 64.694410
    Unten rechts KachelX + 1 61942 KachelY + 1 34372 -0.17228522 1.12913046 -9.871216 64.694410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12915095-1.12913046) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12915095-1.12913046) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17233315--0.17228522) × cos(1.12915095) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.427427545220778 × 6371000     		do = 130.520142886538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17233315--0.17228522) × cos(1.12913046) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.427446069107517 × 6371000     		du = 130.525799378196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12915095)-sin(1.12913046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427427545220778-0.427446069107517)×R²
    abs(-0.17228522--0.17233315)×1.85238867395077e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85238867395077e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85238867395077e-05×40589641000000     		ar = 17038.7022883174m²