Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61940 / 39503
↖ ↑ ↗
← N 57.962960°
W  9.876709°		 ← 162.02 m → N 57.962960°
W  9.873962°		 →
↑
162.01 m
↓
↑
162.01 m
↓
N 57.961503°
W  9.876709°		 ← 162.02 m →
26 250 m²		 N 57.961503°
W  9.873962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472568511962891 y=0.301387786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472568511962891 × 217)
    floor (0.472568511962891 × 131072)
    floor (61940.5)     		tx = 61940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301387786865234 × 217)
    floor (0.301387786865234 × 131072)
    floor (39503.5)     		ty = 39503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61940 / 39503 ti = "17/61940/39503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61940/39503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61940 ÷ 217
    61940 ÷ 131072     		x = 0.472564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39503 ÷ 217
    39503 ÷ 131072     		y = 0.301383972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.05487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17238109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301383972167969 × 2 - 1) × π
    0.397232055664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.24794130780892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17238109} λ = -0.17238109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24794130780892))-π/2
    2×atan(3.48316480700748)-π/2
    2×1.29122041232741-π/2
    2.58244082465481-1.57079632675     		φ = 1.01164450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17238109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.876709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01164450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.962960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61940 KachelY 39503 -0.17238109 1.01164450 -9.876709 57.962960
    Oben rechts KachelX + 1 61941 KachelY 39503 -0.17233315 1.01164450 -9.873962 57.962960
    Unten links KachelX 61940 KachelY + 1 39504 -0.17238109 1.01161907 -9.876709 57.961503
    Unten rechts KachelX + 1 61941 KachelY + 1 39504 -0.17233315 1.01161907 -9.873962 57.961503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01164450-1.01161907) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dl = 162.014529999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01164450-1.01161907) × R
    2.5429999999993e-05 × 6371000     		dr = 162.014529999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17238109--0.17233315) × cos(1.01164450) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530467387856921 × 6371000     		do = 162.018394482055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17238109--0.17233315) × cos(1.01161907) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.530488944832297 × 6371000     		du = 162.024978537211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01164450)-sin(1.01161907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530467387856921-0.530488944832297)×R²
    abs(-0.17233315--0.17238109)×2.15569753755362e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15569753755362e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15569753755362e-05×40589641000000     		ar = 26249.8673909515m²