Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61940 / 34394
↖ ↑ ↗
← N 64.668569°
W  9.876709°		 ← 130.68 m → N 64.668569°
W  9.873962°		 →
↑
130.67 m
↓
↑
130.67 m
↓
N 64.667394°
W  9.876709°		 ← 130.68 m →
17 076 m²		 N 64.667394°
W  9.873962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472568511962891 y=0.262409210205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472568511962891 × 217)
    floor (0.472568511962891 × 131072)
    floor (61940.5)     		tx = 61940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262409210205078 × 217)
    floor (0.262409210205078 × 131072)
    floor (34394.5)     		ty = 34394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61940 / 34394 ti = "17/61940/34394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61940/34394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61940 ÷ 217
    61940 ÷ 131072     		x = 0.472564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34394 ÷ 217
    34394 ÷ 131072     		y = 0.262405395507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.05487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17238109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262405395507812 × 2 - 1) × π
    0.475189208984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49285092796779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17238109} λ = -0.17238109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49285092796779))-π/2
    2×atan(4.44976340775355)-π/2
    2×1.34973789028398-π/2
    2.69947578056796-1.57079632675     		φ = 1.12867945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17238109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.876709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12867945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.668569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61940 KachelY 34394 -0.17238109 1.12867945 -9.876709 64.668569
    Oben rechts KachelX + 1 61941 KachelY 34394 -0.17233315 1.12867945 -9.873962 64.668569
    Unten links KachelX 61940 KachelY + 1 34395 -0.17238109 1.12865894 -9.876709 64.667394
    Unten rechts KachelX + 1 61941 KachelY + 1 34395 -0.17233315 1.12865894 -9.873962 64.667394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12867945-1.12865894) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dl = 130.669209999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12867945-1.12865894) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dr = 130.669209999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17238109--0.17233315) × cos(1.12867945) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427853757083931 × 6371000     		do = 130.67755036913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17238109--0.17233315) × cos(1.12865894) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427872294915914 × 6371000     		du = 130.683212300181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12867945)-sin(1.12865894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427853757083931-0.427872294915914)×R²
    abs(-0.17233315--0.17238109)×1.85378319825791e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85378319825791e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85378319825791e-05×40589641000000     		ar = 17075.9021919081m²